Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos. dada por .
Passo 1
O enunciado fornece a transformação linear
O conteúdo é cálculo de núcleo e imagem de uma aplicação linear. Para isso vamos identificar a matriz associada, usar redução de linhas para achar o espaço nulo (\ker T) e determinar a dimensão da imagem (\operatorname{im} T) via posto da matriz, aplicando depois o Teorema do Núcleo e Imagem para decidir injetividade, sobrejetividade e isomorfismo.
Passo 2
Escrevemos a matriz de em relação às bases canônicas de e :
Para achar ker T, resolvemos A,(x,y,z,t)^T=0. Aplicando operações elementares:
Da terceira linha obtém-se 2t=0Rightarrow t=0. Da segunda linha segue 4y+2z+1cdot t=0Rightarrow 2y+z=0. Da primeira linha vem x+y+z-t=0Rightarrow x - y=0.
Passo 3
Introduzindo y=s, a solução geral de A(x,y,z,t)^T=0 é
t=0, z=-2s, x=s, y=s,
ou seja
(x,y,z,t)=s,(1,1,-2,0), sinR
Logo
ker T = span(1,1,-2,0),
com dimker T=1.
Passo 4
O posto de é o número de pivôs na redução, que é . Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
Como a codomínio tem dimensão , segue .
Passo 5
Das dimensões:
– implica que não é injetiva.
– implica que é sobrejetiva.
– Para ser isomorfismo seria preciso ser simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Como não é injetiva, não é isomorfismo.
Resposta
não é injetiva, é sobrejetiva e não é isomorfismo.