Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos.
T: R^4 R^3 dada por T(x, y, z, t)=(x+y+z-t,-x+3 y+z+2 t, x+y+z+t).

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear
Tcolon R^4toR^3, T(x,y,z,t)=l(x+y+z-t,,-x+3y+z+2t,;x+y+z+tr)
O conteúdo é cálculo de núcleo e imagem de uma aplicação linear. Para isso vamos identificar a matriz associada, usar redução de linhas para achar o espaço nulo (\ker T) e determinar a dimensão da imagem (\operatorname{im} T) via posto da matriz, aplicando depois o Teorema do Núcleo e Imagem para decidir injetividade, sobrejetividade e isomorfismo.

Passo 2

Escrevemos a matriz A de T em relação às bases canônicas de R^4 e R^3:
A = 1 & 1 & 1 & -1 -1 & 3 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 1
Para achar ker T, resolvemos A,(x,y,z,t)^T=0. Aplicando operações elementares:
1 & 1 & 1 & -1 -1 & 3 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 1 longrightarrow 1 & 1 & 1 & -1 0 & 4 & 2 & 1 1 & 1 & 1 & 1 longrightarrow 1 & 1 & 1 & -1 0 & 4 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 2
Da terceira linha obtém-se 2t=0Rightarrow t=0. Da segunda linha segue 4y+2z+1cdot t=0Rightarrow 2y+z=0. Da primeira linha vem x+y+z-t=0Rightarrow x - y=0.

Passo 3

Introduzindo y=s, a solução geral de A(x,y,z,t)^T=0 é
t=0, z=-2s, x=s, y=s,
ou seja
(x,y,z,t)=s,(1,1,-2,0), sinR
Logo
ker T = span(1,1,-2,0),
com dimker T=1.

Passo 4

O posto de é o número de pivôs na redução, que é . Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
Como a codomínio tem dimensão , segue .

Passo 5

Das dimensões:
implica que não é injetiva.
implica que é sobrejetiva.
– Para ser isomorfismo seria preciso ser simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Como não é injetiva, não é isomorfismo.

Resposta

não é injetiva, é sobrejetiva e não é isomorfismo.

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