Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe:
T: R^3 R^4 tal que T(1,-1,1)=(1,1,1,1) e T(1,1,1)=(0,1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear Tcolon R^3to R^4 com
T(1,-1,1)=(1,1,1,1), T(1,1,1)=(0,1,0,1)
Para construir T, vamos usar que um mapa linear é determinado pelas imagens de uma base de R^3.

Passo 2

Verificamos que
então
implica é conjunto livre.

Passo 3

Para completar uma base de R^3, escolhemos v3=(0,0,1). Não há a,b tais que a, v1 + b, v2 = v3, pois isso exigiria
(a+b,, -a+b,, a+b) = (0,0,1),
o que é impossível. Logo v1, v2, v3 é base de R^3.

Passo 4

Definimos T nos vetores dessa base de modo a satisfazer o enunciado e completamos livremente em v3. Por exemplo, tomemos
T( v1)=(1,1,1,1), T( v2)=(0,1,0,1), T( v3)=(0,0,0,0)
Por extensão linear, isso determina T em todo R^3.

Passo 5

Para obter uma fórmula em coordenadas canônicas, seja
u = T(e1), v = T(e2), w = T(e3)
Como v1 = e1 - e2 + e3 e v2 = e1 + e2 + e3, temos os sistemas
u - v + w = (1,1,1,1), u + v + w = (0,1,0,1)
Somando e subtraindo essas igualdades obtemos
v = l(-tfrac12,0,-tfrac12,0r), u + w = l(tfrac12,1,tfrac12,1r)
Escolhendo w=(0,0,0,0) resulta
u=l(tfrac12,1,tfrac12,1r), v=l(-tfrac12,0,-tfrac12,0r), w=(0,0,0,0)
Assim, para (x,y,z)in R^3,
T(x,y,z) = x,u ;+; y,v ;+; z,w = l(tfracx-y2,;x,;tfracx-y2,;xr)

Resposta

Uma transformação que satisfaz as condições do enunciado é
T(x,y,z)=l(tfracx-y2,;x,;tfracx-y2,;xr)

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