Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe:
tal que
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
com
Para construir
, vamos usar que um mapa linear é determinado pelas imagens de uma base de
.
Passo 2
Verificamos que
então
implica é conjunto livre.
Passo 3
Para completar uma base de
R^3 , escolhemos
v3=(0,0,1) . Não há
a,b tais que
a, v1 + b, v2 = v3 , pois isso exigiria
o que é impossível. Logo
v1, v2, v3 é base de
R^3 .
Passo 4
Definimos
T nos vetores dessa base de modo a satisfazer o enunciado e completamos livremente em
v3 . Por exemplo, tomemos
Por extensão linear, isso determina
T em todo
R^3 .
Passo 5
Para obter uma fórmula em coordenadas canônicas, seja
Como
v1 = e1 - e2 + e3 e
v2 = e1 + e2 + e3 , temos os sistemas
Somando e subtraindo essas igualdades obtemos
Escolhendo
w=(0,0,0,0) resulta
Assim, para
(x,y,z)in R^3 ,
Resposta
Uma transformação que satisfaz as condições do enunciado é