Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos. dada por .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear por
Vamos representar na base canônica de e na base de , calcular o posto da matriz associada e depois encontrar núcleo e imagem.
Passo 2
Na base indicada, a matriz de é
onde a coluna j é o vetor de coeficientes de T(ej) em relação a 1,x,x^2.
Passo 3
Fazendo operações elementares para achar o posto de :
O posto é , logo
Passo 4
Para encontrar
Da segunda equação vem . Assim
Passo 5
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas independentes de . Em termos de polinômios, por exemplo,
logo
Passo 6
Como , não é injetiva. Como , não é sobrejetiva. Portanto não é isomorfismo.
Resposta
não é injetiva, não é sobrejetiva e, consequentemente, não é isomorfismo.