Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos.
T: R^3 P2(R) dada por T(a, b, c)=(a+b-2 c)+(2 a-b+c) x+(4 a+b-3 c) x^2.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3 to P2(R) por
T(a,b,c) = (a+b-2c) + (2a-b+c),x + (4a+b-3c),x^2
Vamos representar T na base canônica de R^3 e na base 1,x,x^2 de P2(R), calcular o posto da matriz associada e depois encontrar núcleo e imagem.

Passo 2

Na base indicada, a matriz de T é
M = 1 & 1 & -2 2 & -1 & 1 4 & 1 & -3 ,
onde a coluna j é o vetor de coeficientes de T(ej) em relação a 1,x,x^2.

Passo 3

Fazendo operações elementares para achar o posto de :
O posto é , logo

Passo 4

Para encontrar
Da segunda equação vem . Assim

Passo 5

A imagem de é o espaço gerado pelas colunas independentes de . Em termos de polinômios, por exemplo,
logo

Passo 6

Como , não é injetiva. Como , não é sobrejetiva. Portanto não é isomorfismo.

Resposta



não é injetiva, não é sobrejetiva e, consequentemente, não é isomorfismo.

Exercícios relacionados