Mostre que a matriz A é ortogonal:
A=[rrr 43 & 0 & -35 -925 & 45 & -1225 1225 & 35 & 1625 ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A= 43 & 0 & -35[6pt] -925 & 45 & -1225[6pt] 1225 & 35 & 1625
é ortogonal. O conteúdo que vamos usar é a definição de matriz ortogonal:]

Passo 2

Uma matriz é ortogonal se, e somente se,
Equivalente a isto, as colunas de formam um conjunto ortonormal, isto é, cada coluna tem norma e quaisquer duas colunas são ortogonais.

Passo 3

Denotemos por ,c1,c2,c3inR^3 as colunas de A:
c1=43[3pt]-925[3pt]1225, c2=0[3pt]45[3pt]35, c3=-35[3pt]-1225[3pt]1625 ]

Passo 4

Vamos verificar as normas das colunas:
|c1|^2 = l(tfrac43r)^2 + l(-tfrac925r)^2 + l(tfrac1225r)^2 = tfrac169 + tfrac81625 + tfrac144625 = tfrac169 + tfrac225625 = tfrac169 + tfrac925 = tfrac481225 neq 1
Como |c1|^2ne1, já temos que as colunas não são todas de norma unitária.

Passo 5

Para ser ortogonal precisaríamos de |ci|^2=1 para i=1,2,3 e ci^T cj=0 para ine j. Mesmo sem continuar, o fato de
|c1|^2=tfrac481225neq1
é suficiente para concluir que
A^T,A ;neq; I3

Resposta

A matriz A não é ortogonal, pois A^T Aneq I3 (já que a primeira coluna não tem norma 1).

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