Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe:
cujo núcleo seja gerado por
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
com
Como
e temos dois vetores independentes no núcleo, pela dimensão do núcleo (nullidade) igual a
, a imagem de
deve ter dimensão
Iremos então construir
como o produto de um funcional linear
(com núcleo gerado pelos dois vetores) por um polinômio não-nulo de
.
Passo 2
Escolhemos um funcional linear genérico
que deve anular-se em
e em
. Portanto impomos:
Passo 3
Resolvendo o sistema
temos
e
. Para fixar uma solução simples, escolhemos
. Então
e
Passo 4
Para que
tenha dimensão
, basta multiplicar
por um polinômio fixo não-nulo de grau
. A escolha mais simples é usar
. Logo definimos
Passo 5
Verificações rápidas:
.
é linear, pois é produto de funcional linear por um polinômio fixo.
. Se
pertence ao núcleo de
, então
para todo
, o que implica
, ou seja
. E por construção
.
.
é gerada por
, logo tem dimensão
.
Resposta
Uma transformação que funciona é
pois seu núcleo é exatamente
.