Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe:
T: R^3 P2(R) cujo núcleo seja gerado por (1,0,1) e (1,2,0).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
Tcolon R^3 to P2(R)
com
ker T = span(1,0,1),,(1,2,0)
Como dimR^3=3 e temos dois vetores independentes no núcleo, pela dimensão do núcleo (nullidade) igual a 2, a imagem de T deve ter dimensão
rank,T = 3 - 2 = 1
Iremos então construir T como o produto de um funcional linear LcolonR^3toR (com núcleo gerado pelos dois vetores) por um polinômio não-nulo de P2(R).

Passo 2

Escolhemos um funcional linear genérico
L(x,y,z) = alpha x + beta y + gamma z
que deve anular-se em (1,0,1) e em (1,2,0). Portanto impomos:
L(1,0,1)=alpha+gamma=0, L(1,2,0)=alpha+2beta=0

Passo 3

Resolvendo o sistema
alpha+gamma=0 , alpha+2beta=0
temos alpha=-gamma e beta=-alpha2=gamma2. Para fixar uma solução simples, escolhemos gamma=2. Então
alpha=-2, beta=1, gamma=2,
e
L(x,y,z) = -2x + y + 2z

Passo 4

Para que Im,T tenha dimensão 1, basta multiplicar L(x,y,z) por um polinômio fixo não-nulo de grau <=2. A escolha mais simples é usar p(t)=t. Logo definimos
T(x,y,z) = L(x,y,z),cdot t = (-2x + y + 2z),t

Passo 5

Verificações rápidas:
1. T é linear, pois é produto de funcional linear por um polinômio fixo.
2. Se (x,y,z) pertence ao núcleo de T, então
T(x,y,z)=0Longrightarrow(-2x+y+2z),t=0
para todo t, o que implica -2x+y+2z=0, ou seja (x,y,z)inker L. E por construção ker L=span(1,0,1),(1,2,0).
3. Im,Tsubset P2(R) é gerada por t, logo tem dimensão 1.

Resposta

Uma transformação que funciona é
T(x,y,z) = (-2x + y + 2z),t,
pois seu núcleo é exatamente span(1,0,1),(1,2,0).

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