Verifique se as seguintes funções são aplicações lineares.
T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(2,3, x+y)

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação Tcolon R^2 to R^3 definida por
T(x,y) = (2,,3,,x+y)
Queremos verificar se T é linear. Para isso, basta checar uma das propriedades equivalentes, por exemplo:
  1. T(0,0) deve ser (0,0,0).
  2. T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u,vinR^2.

Passo 2

Calculamos T no vetor nulo (0,0):
T(0,0) = (2,,3,,0+0) = (2,,3,,0)
Mas, se T fosse linear, teríamos obrigatoriamente T(0,0) = (0,0,0). Como (2,3,0)neq(0,0,0), a propriedade falha.

Passo 3

Para reforçar, podemos checar aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
T(u+v) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(2,,3,,x1+x2+y1+y2r),
enquanto
T(u) + T(v) = (2,,3,,x1+y1) + (2,,3,,x2+y2) = (4,,6,,x1+y1+x2+y2)
Como (2,3,x1+x2+y1+y2)neq(4,6,x1+y1+x2+y2) em geral, a aditividade também falha.

Resposta

A aplicação T não é linear.

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