Verifique se as seguintes funções são aplicações lineares.
definida por
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
definida por
Queremos verificar se
é linear. Para isso, basta checar uma das propriedades equivalentes, por exemplo:
-
deve ser . -
para todo .
Passo 2
Calculamos
no vetor nulo
:
Mas, se
fosse linear, teríamos obrigatoriamente
. Como
, a propriedade falha.
Passo 3
Para reforçar, podemos checar aditividade. Seja
e
. Então
enquanto
Como
em geral, a aditividade também falha.
Resposta
A aplicação
não é linear.