Determine o núcleo e a imagem das transformações a seguir. Quando possível, use o Teorema do Núcleo e da Imagem para facilitar suas contas. Quais destas transformações são injetoras? E sobrejetoras? E inversíveis?
(c)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede o núcleo , a imagem e, a partir disso, verificar se é injetora, sobrejetora e invertível. Vamos usar resolução de sistemas lineares para o núcleo e o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank-nullity) para achar a dimensão da imagem.
Passo 2
Para achar resolvemos , isto é, o sistema
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação vem
2x - 3y = 0Longrightarrow x = tfrac32,y
Substituindo na primeira,
tfrac32,y + 2y - z = 0 Longrightarrow z = tfrac72,y