Determine o núcleo e a imagem das transformações a seguir. Quando possível, use o Teorema do Núcleo e da Imagem para facilitar suas contas. Quais destas transformações são injetoras? E sobrejetoras? E inversíveis?
(c) T: & R^3 (x, y, z) & mapsto R^3 & mapsto(x+2 y-z, 2 x-3 y,-2 y+4 z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, (x,y,z) mapsto l(x+2y-z,;2x-3y,;-2y+4zr),
e pede o núcleo ker T, a imagem Im,T e, a partir disso, verificar se T é injetora, sobrejetora e invertível. Vamos usar resolução de sistemas lineares para o núcleo e o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank-nullity) para achar a dimensão da imagem.

Passo 2

Para achar ker T resolvemos T(x,y,z)=(0,0,0), isto é, o sistema
x + 2y - z = 0, 2x - 3y = 0, -2y + 4z = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação vem
2x - 3y = 0Longrightarrow x = tfrac32,y
Substituindo na primeira,
tfrac32,y + 2y - z = 0 Longrightarrow z = tfrac72,y
Na terceira equação,
-2y + 4z = 0 Longrightarrow -2y + 4l(tfrac72yr)= -2y +14y=12y=0 ;Longrightarrow;y=0
Logo y=0, e disso x=0, z=0. Concluímos
ker T = (0,0,0)

Passo 4

Pela dimensão do núcleo ser zero, o Teorema do Núcleo e da Imagem diz
dim(ker T) + dim(Im,T) = dim( R^3) = 3 Longrightarrow 0 + dim(Im,T) = 3 ;Longrightarrow; dim(Im,T)=3
Como o espaço de chegada é R^3 de dimensão 3, segue que
Im,T = R^3

Passo 5

  • Injetividade: ker T=0 implies T é injetora.
  • Sobrejetividade: Im,T= R^3 implies T é sobrejetora.
  • Inversibilidade: sendo injetora e sobrejetora entre espaços de mesma dimensão, T é invertível.

Resposta

ker T = (0,0,0), Im,T = R^3 T é injetora, sobrejetora e, portanto, inversível.

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