Determine o núcleo e a imagem das transformações a seguir. Quando possível, use o Teorema do Núcleo e da Imagem para facilitar suas contas. Quais destas transformações são injetoras? E sobrejetoras? E inversíveis?
(d) T: & R^2 (x, y) & mapsto R^2 & mapsto(x-2 y, 3 y-2 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (x-2y,;3y-2x),
e pede o núcleo ker(T), a imagem Im(T) e verificar se T é injetora, sobrejetora e inversível. Vamos usar representação matricial na base canônica, resolver o sistema T(x,y)=0 para o núcleo e aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem ( dim ker + dim Im =2) e o determinante para a imagem.

Passo 2

Na base canônica , , a matriz de é
pois

Passo 3

Para achar
Da primeira equação (x = 2y]. Substituindo na segunda:

Logo

Passo 4

Para a imagem, basta notar que
Como , temos . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
Num espaço de dimensão , subespaço de dimensão é todo o espaço. Logo

Passo 5

  • ker(T)=(0,0) implica que T é injetora.
  • Im(T)=R^2 implica que T é sobrejetora.
  • Sendo bijetora em um espaço de dimensão finita, T é invertível.

Resposta

ker(T)=(0,0), Im(T)=R^2 T é injetora, sobrejetora e, portanto, inversível.

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