Determine o núcleo e a imagem das transformações a seguir. Quando possível, use o Teorema do Núcleo e da Imagem para facilitar suas contas. Quais destas transformações são injetoras? E sobrejetoras? E inversíveis?
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
e pede o núcleo , a imagem e verificar se é injetora, sobrejetora e inversível. Vamos usar representação matricial na base canônica, resolver o sistema para o núcleo e aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem () e o determinante para a imagem.
Passo 2
Na base canônica , , a matriz de é
pois
Passo 3
Para achar
Da primeira equação (x = 2y]. Substituindo na segunda:
Logo
Passo 4
Para a imagem, basta notar que
Como , temos . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
Num espaço de dimensão , subespaço de dimensão é todo o espaço. Logo
Passo 5
ker(T)=(0,0) implica que T é injetora.
Im(T)=R^2 implica que T é sobrejetora.
Sendo bijetora em um espaço de dimensão finita, T é invertível.
Resposta
ker(T)=(0,0), Im(T)=R^2 T é injetora, sobrejetora e, portanto, inversível.