Seja
uma transformação linear. Determine se as afirmações abaixo são Verdadeiras ou Falsas justificando sua resposta.
(d)
então
é injetora.
(d)
Passo 1
O enunciado fala de uma transformação linear
e diz que
. Pergunta se disso já segue que
é injetora. O conteúdo necessário é o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) e o fato de que igualdade de dimensão por si só não garante injeção nem sobrejeção.
Passo 2
Lembremos do Teorema da Dimensão para transformações lineares:
Aqui
é a nulidade de
e
é o posto (rank) de
.
Passo 3
Para
ser injetora precisamos de
, isto é,
. A partir daí o teorema da dimensão daria
Se ainda sabemos
, então
, o que faria
sobrejetora também. Mas note que tudo isso parte da hipótese extra
, que é justamente a injeção. Sem essa hipótese, a igualdade
não implica
.
Passo 4
Para ver que a afirmação é falsa, basta um contra-exemplo simples. Seja
e defina
Então
, mas
, logo
não é injetora.
Passo 5
Concluímos que ter apenas
não basta para garantir que
seja injetora; é preciso também saber algo sobre
ou sobre o posto de
.
Resposta
Falso.