Seja T: V U uma transformação linear. Determine se as afirmações abaixo são Verdadeiras ou Falsas justificando sua resposta.
(d) Se dim(V)=dim(U) então T é injetora.

Passo 1

O enunciado fala de uma transformação linear Tcolon Vto U e diz que dim(V)=dim(U). Pergunta se disso já segue que T é injetora. O conteúdo necessário é o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) e o fato de que igualdade de dimensão por si só não garante injeção nem sobrejeção.

Passo 2

Lembremos do Teorema da Dimensão para transformações lineares:
dim(V)=dim(ker T)+dim(imT)
Aqui dim(ker T) é a nulidade de T e dim(imT) é o posto (rank) de T.

Passo 3

Para T ser injetora precisamos de ker T=0, isto é, dim(ker T)=0. A partir daí o teorema da dimensão daria
dim(V)=0+dim(imT) impliesdim(imT)=dim(V)
Se ainda sabemos dim(V)=dim(U), então dim(imT)=dim(U), o que faria T sobrejetora também. Mas note que tudo isso parte da hipótese extra dim(ker T)=0, que é justamente a injeção. Sem essa hipótese, a igualdade dim(V)=dim(U) não implica dim(ker T)=0.

Passo 4

Para ver que a afirmação é falsa, basta um contra-exemplo simples. Seja V=U=R^n e defina
T(x)=0para todo (xinR^n)
Então dim(V)=dim(U)=n, mas ker T=R^nneq0, logo T não é injetora.

Passo 5

Concluímos que ter apenas dim(V)=dim(U) não basta para garantir que T seja injetora; é preciso também saber algo sobre ker T ou sobre o posto de T.

Resposta

Falso.

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