Determine a
da transformação linear
dada por
Em seguida, determine a base de
(Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Queremos determinar o subespaço
(a imagem de
) e uma base de
. Para isso, usaremos a representação matricial de
e o conceito de espaço gerado por colunas.
Passo 2
Calculamos as imagens dos vetores canônicos
,
e
:
Esses vetores serão as colunas da matriz
que representa
.
Passo 3
Qualquer vetor
satisfaz
logo
Passo 4
Verificamos se esses três vetores são linearmente independentes. Seja
Da quarta componente vem
. Substituindo nas demais equações, obtemos
e
. Assim, só existe a combinação trivial, e os vetores são independentes.
Passo 5
Como há três vetores independentes em
,
e uma base de
é justamente
Resposta
Base de