Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear com matriz [T]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 0 & 1 \\\\ -2 & 3\end{array}\right] para A=\{(1,0),(0,1)\} base de \mathbb{R}^{2}, e B=\{(1,0,1),(-2,0,1),(0,1,0)\}, base para \mathbb{R}^{3}. A partir da matriz da transformação [T]_{B}^{A} e as bases determine a lei de formação de T. Em seguida, calcule a imagem do vetor v=(2,-3) pela T (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma transformação linear
\;T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}
cuja matriz em relação à base canônica
\;A=\{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^2 e à base
\;B=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{(1,0,1),(-2,0,1),(0,1,0)\} de \mathbb{R}^3 é
[T]_{B}^{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 0 & 1\\\\ -2 & 3 \end{pmatrix}.
Queremos (i) a lei de formação de T(x,y) em coordenadas usuais e (ii) a imagem de v=(2,-3).

Passo 2

As colunas de [T]_{B}^{A} são as coordenadas de T(e_{1}) e T(e_{2}) na base B. Chamando b_{1}=(1,0,1), b_{2}=(-2,0,1), b_{3}=(0,1,0), temos:
[T]_{B}^{A}= \begin{pmatrix} \phantom{-}1 & -1\\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}1\\\\ -2 & \phantom{-}3 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} T(e_{1}) = 1\cdot b_{1}+0\cdot b_{2}+(-2)\cdot b_{3},\\\ T(e_{2}) = (-1)\cdot b_{1}+1\cdot b_{2}+3\cdot b_{3}. \end{cases}

Passo 3

Compute-mos T(e_{1}) em coordenadas usuais:
T(e_{1}) = b_{1} - 2 \cdot b_{3} = (1,0,1) - 2 \cdot (0,1,0) = (1, -2, 1).

Passo 4

Compute-mos T(e_{2}) em coordenadas usuais:
T(e_{2}) = - b_{1} + b_{2} + 3 \cdot b_{3} = - (1,0,1) + (-2,0,1) + 3 \cdot (0,1,0) = (-1 - 2, 0 + 3, -1 + 1) = (-3, 3, 0).

Passo 5

Por linearidade, para um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2 vale
T(x,y) = x\,T(e_{1}) + y\,T(e_{2}) = x\,(1,-2,1) \;+\; y\,(-3,3,0) = \bigl(x-3y,\,-2x+3y,\;x\bigr).

Passo 6

Finalmente, para v=(2,-3) temos
T(2,-3) = \bigl(2 -3\cdot(-3),\,-2\cdot 2 +3\cdot(-3),\,2\bigr) = (2+9,\,-4-9,\;2) = (11,\,-13,\;2).

Resposta

A lei de formação é
T(x,y) = (\,x - 3y,\,-2x + 3y,\,x\,)
e
T(2,-3) = (11,\,-13,\;2).

Exercícios relacionados