Determine o núcleo das transformações abaixo e dê um conjunto gerador para cada um deles:
T: R 3 R 2 ; T(x, y, z)=(2 x+y, x+z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (2x + y,;x + z)
e pede o núcleo de T (ou seja, ker(T)=(x,y,z)mid T(x,y,z)=(0,0)) e um conjunto gerador para ele. Vamos usar resolução de um sistema homogêneo para encontrar ker(T).

Passo 2

Para (x,y,z) pertencer a ker(T), precisamos ter
T(x,y,z)=(0,0) Long<=ftrightarrow 2x + y = 0, x + z = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema acima, podemos usar x como parâmetro livre, digamos x = t. Então
y = -2x = -2t, z = -x = -t

Passo 4

Portanto o vetor genérico em ker(T) é
(x,y,z) = (t,,-2t,,-t) = t,(1,,-2,,-1),
com tinR. Logo
ker(T) = ,t,(1,-2,-1)mid tinR, = span(1,-2,-1)

Resposta

ker(T)=,t(1,-2,-1)mid tinR.
Um conjunto gerador é (1,-2,-1).

Exercícios relacionados