Determine as transformações lineares tal que:
T(-1,1,0)=(2,1,3), T(0,2,1)=(-1,2,1), T(-1,0,-1)=(2,-1,1)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar a aplicação linear T:R^3toR^3 tal que
T(-1,1,0)=(2,1,3), T(0,2,1)=(-1,2,1), T(-1,0,-1)=(2,-1,1)
Como os vetores (-1,1,0),(0,2,1),(-1,0,-1) são linearmente independentes (determinante igual a 1), formam uma base de R^3 e o operador fica determinado por sua matriz A na base padrão que satisfaz
A,[,( -1,1,0),(0,2,1),(-1,0,-1),];=;[,(2,1,3),(-1,2,1),(2,-1,1),]

Passo 2

Seja
A= a&b&c d&e&f g&h&i
As igualdades A(-1,1,0)=(2,1,3), A(0,2,1)=(-1,2,1) e A(-1,0,-1)=(2,-1,1) geram o sistema
-a+b=2, 2b+c=-1, -a-c=2, -d+e=1, 2e+f=2, -d-f=-1, -g+h=3, 2h+i=1, -g-i=1

Passo 3

Resolvendo o primeiro bloco para (a,b,c): da primeira equação b=a+2 e da terceira c=-a-2. Substituindo na segunda obtemos
2(a+2)+(-a-2)=-1;Longrightarrow;a=-3, b=-1, c=1

Passo 4

Resolvendo o segundo bloco para (d,e,f): da primeira equação e=d+1 e da terceira f=-d+1. Substituindo em 2e+f=2
2(d+1)+(-d+1)=2;Longrightarrow;d=-1, e=0, f=2

Passo 5

Resolvendo o terceiro bloco para (g,h,i): da primeira equação h=g+3 e da terceira i=-g-1. Substituindo em 2h+i=1 resulta
2(g+3)+(-g-1)=1;Longrightarrow;g=-4, h=-1, i=3

Passo 6

Portanto a matriz de T na base canônica é
A= -3&-1&1 -1&0&2 -4&-1&3
e para qualquer vetor (x,y,z) temos
T(x,y,z)=(-3x-y+z,,-x+2z,,-4x-y+3z)

Resposta

A transformação linear é dada por
T(x,y,z)=(-3x-y+z,,-x+2z,,-4x-y+3z)

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