Exercício 16. Determine a posição relativa entre as retas e no seguintes casos:

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa entre as retas
r:;X=(1,-1,1)+lambda(-2,1,-1)
e
s: y+z=3, x+y-z=6
em R^3. Vamos extrair o vetor diretor de s a partir das normais dos planos, comparar com o vetor diretor de r para ver se são paralelas, e em seguida checar possível interseção.

Passo 2

Os planos de s têm vetores normais
n1=(0,1,1) e n2=(1,1,-1).
O vetor diretor de s é o produto vetorial
vs = n1 times n2 = (1cdot(-1)-1cdot1,;1cdot1-0cdot(-1),;0cdot1-1cdot1) = (-2,1,-1)

Passo 3

O vetor diretor de r é vr=(-2,1,-1). Como
vs = vr,
as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para decidir entre coincidentes e paralelas distintas, tomamos o ponto P de r para lambda=0, ou seja P=(1,-1,1), e verificamos se ele satisfaz as equações de s:
y+z = -1 + 1 = 0 neq 3, x+y-z = 1 +(-1) -1 = -1 neq 6
Logo Pnotin s, não há interseção e as retas não coincidem.

Resposta

As retas r e s são paralelas e distintas.

Exercícios relacionados