Determine o núcleo das transformações abaixo e dê um conjunto gerador para cada um deles:
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
e pede para determinar o núcleo, isto é, todos os vetores
que são enviados ao vetor zero. Vamos usar a definição de núcleo de uma transformação linear:
Passo 2
Aplicando
de modo a impor
, obtemos a equação
Dessa igualdade, a única restrição é
Passo 3
A condição
implica
enquanto
fica livre. Portanto todo vetor do núcleo tem a forma
com
.
Passo 4
Escrevendo isso em forma de subespaço, temos
Para obter um conjunto gerador, note que
Logo um gerador (na verdade uma base) é
.