Determine o núcleo das transformações abaixo e dê um conjunto gerador para cada um deles:
T: R 3 R 3 ; T(x, y, z)=(0,0, y-z)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (0,0,y - z)
e pede para determinar o núcleo, isto é, todos os vetores (x,y,z) que são enviados ao vetor zero. Vamos usar a definição de núcleo de uma transformação linear:
ker T = ,vinR^3 mid T(v)=0

Passo 2

Aplicando T de modo a impor T(x,y,z)=(0,0,0), obtemos a equação
T(x,y,z) = (0,0,y-z) = (0,0,0)
Dessa igualdade, a única restrição é
y - z = 0

Passo 3

A condição y - z = 0 implica
y = z,
enquanto x fica livre. Portanto todo vetor do núcleo tem a forma
(x,y,z) = (x,y,y),
com x,yinR.

Passo 4

Escrevendo isso em forma de subespaço, temos
ker T = (x,y,y)mid x,yinR
Para obter um conjunto gerador, note que
(x,y,y) = x,(1,0,0) ;+; y,(0,1,1)
Logo um gerador (na verdade uma base) é (1,0,0),,(0,1,1).

Resposta

ker T = (x,y,y)mid x,yinR e ker T = span(1,0,0),,(0,1,1)

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