Determine o núcleo das transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, dada por T(x, y, z)=z-2 x, para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} definida por
T(x,y,z)=z-2x
para (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. O que nos pedem é determinar o núcleo (núcleo) de T, ou seja, o conjunto de todos os vetores de \mathbb{R}^{3} que são levados ao vetor zero em \mathbb{R} pela transformação T.

Passo 2

Definição prática do núcleo: o núcleo de T é
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid T(x,y,z)=0\}.
Aqui o “zero” no contradomínio é o número escalar 0\in\mathbb{R}. Então precisamos resolver a equação
T(x,y,z)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z-2x=0.

Passo 3

Resolver a equação z-2x=0. Isolando z obtemos
z=2x.
Isto significa que os vetores do núcleo são exatamente aqueles com coordenadas (x,y,z) tais que z é o dobro de x, enquanto y pode ser qualquer número real.

Passo 4

Parametrização do conjunto solução. Vamos usar parâmetros livres para x e y. Seja s=x e t=y, então z=2s. Assim um vetor genérico do núcleo tem a forma
(s,t,2s)=s(1,0,2)+t(0,1,0),
onde s,t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Interpretação e base: a parametrização mostra que o núcleo é o subespaço gerado pelos vetores (1,0,2) e (0,1,0). Em notação de geração (span):
\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,0,2),(0,1,0)\}.
Verificação rápida de independência linear: se a(1,0,2)+b(0,1,0)=(0,0,0), então pelas coordenadas obtemos a=0, b=0. Logo os dois vetores são LI e formam uma base do núcleo.

Passo 6

Dimensão e descrição geométrica rápida: como temos duas vetores independentes na base do núcleo, \dim(\ker(T))=2. Geometricamente, o núcleo é um plano passando pela origem em \mathbb{R}^{3} dado pela equação z=2x. Exemplo para conferir: para (1,3,2) temos T(1,3,2)=2-2\cdot1=0, logo (1,3,2)\in\ker(T).

Resposta

\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,0,2),(0,1,0)\}

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