Determine o núcleo das transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, dada por T(x, y, z)=z-2 x, para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, dada por T(x, y, z)=z-2 x, para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
para
. O que nos pedem é determinar o núcleo (núcleo) de
, ou seja, o conjunto de todos os vetores de
que são levados ao vetor zero em
pela transformação
.
Passo 2
Definição prática do núcleo: o núcleo de
é
Aqui o “zero” no contradomínio é o número escalar
. Então precisamos resolver a equação
Passo 3
Resolver a equação
. Isolando
obtemos
Isto significa que os vetores do núcleo são exatamente aqueles com coordenadas
tais que
é o dobro de
, enquanto
pode ser qualquer número real.
Passo 4
Parametrização do conjunto solução. Vamos usar parâmetros livres para
e
. Seja
e
, então
. Assim um vetor genérico do núcleo tem a forma
onde
.
Passo 5
Interpretação e base: a parametrização mostra que o núcleo é o subespaço gerado pelos vetores
e
. Em notação de geração (span):
Verificação rápida de independência linear: se
, então pelas coordenadas obtemos
,
. Logo os dois vetores são LI e formam uma base do núcleo.
Passo 6
Dimensão e descrição geométrica rápida: como temos duas vetores independentes na base do núcleo,
. Geometricamente, o núcleo é um plano passando pela origem em
dado pela equação
. Exemplo para conferir: para
temos
, logo
.