Determine o núcleo das transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y)=(2 x+2 y, x+y), para (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y) = (2x+2y,\;x+y)
para (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. A pergunta é: determinar o núcleo (kernel) de T, ou seja, o conjunto de todos os vetores de \mathbb{R}^{2} que T envia para o vetor nulo (0,0).

Passo 2

O que é o núcleo (kernel)?
O núcleo de T, denotado \ker(T), é
\ker(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid T(x,y)=(0,0)\}.
Na prática, para encontrar \ker(T) basta resolver o sistema de equações obtido ao igualar a imagem a (0,0). Aqui o vetor nulo em \mathbb{R}^{2} é (0,0).

Passo 3

Escrevendo as equações que vêm de T(x,y)=(0,0)\) temos o sistema \[\begin{cases} 2x+2y=0,\\[4pt] x+y=0. \end{cases}
Cada linha é uma equação linear em x\] e \(y.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo: a segunda equação é simples,
x+y=0 \quad\Rightarrow\quad x=-y.
Podemos usar essa relação para parametrizar as soluções. Também observe que a primeira equação é
2x+2y=2(x+y)=0,
que é a mesma condição multiplicada por 2, então ela não traz restrição nova — o sistema é consistente e tem infinitas soluções que obedecem x=-y.

Passo 5

Parametrização das soluções: seja t\in\mathbb{R} e tome x=t. Então y=-t. Assim todo vetor do núcleo é da forma
(t,-t)=t(1,-1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida com um exemplo: para (1,-1),
T(1,-1)=(2\cdot1+2\cdot(-1),\;1+(-1))=(0,0),
logo (1,-1) está no núcleo e gera todas as soluções por multiplicação escalar.

Passo 6

Interpretação linear: o conjunto de todos os t(1,-1) é uma subespaço unidimensional de \mathbb{R}^{2}, isto é, \ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1)\}. Outra maneira rápida (não necessária aqui) é ver a matriz associada
A=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},
cuja segunda linha é múltiplo da primeira, então \operatorname{rank}(A)=1 e \dim\ker(T)=2-1=1, confirmando que o núcleo é uma reta através da origem.]

Resposta

\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,-1)\}

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