Determine o núcleo das transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y)=(2 x+2 y, x+y), para (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y)=(2 x+2 y, x+y), para (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
para
. A pergunta é: determinar o núcleo (kernel) de
, ou seja, o conjunto de todos os vetores de
que
envia para o vetor nulo
.
Passo 2
O que é o núcleo (kernel)?
O núcleo de , denotado
, é
O núcleo de
Na prática, para encontrar
basta resolver o sistema de equações obtido ao igualar a imagem a
. Aqui o vetor nulo em
é
.
Passo 3
Escrevendo as equações que vêm de
Cada linha é uma equação linear em
.]
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo: a segunda equação é simples,
Podemos usar essa relação para parametrizar as soluções. Também observe que a primeira equação é
que é a mesma condição multiplicada por
, então ela não traz restrição nova — o sistema é consistente e tem infinitas soluções que obedecem
.
Passo 5
Parametrização das soluções: seja
e tome
. Então
. Assim todo vetor do núcleo é da forma
Verificação rápida com um exemplo: para
,
logo
está no núcleo e gera todas as soluções por multiplicação escalar.
Passo 6
Interpretação linear: o conjunto de todos os
é uma subespaço unidimensional de
, isto é,
. Outra maneira rápida (não necessária aqui) é ver a matriz associada
cuja segunda linha é múltiplo da primeira, então
e
, confirmando que o núcleo é uma reta através da origem.]