Determine o núcleo das transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y)=(x+y, x-y), para (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(x+y,\;x-y)
para (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. A pergunta é: determinar o núcleo de T, isto é, o conjunto de todos os vetores (x,y) que são levados ao vetor nulo em \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Definição importante (explicação didática): o núcleo de uma transformação linear T é
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^{2}\mid T(v)=0\}.
Aqui 0 é o vetor nulo em \mathbb{R}^{2}, que é (0,0). Ou seja, precisamos resolver
T(x,y)=(0,0).

Passo 3

Escrevendo explicitamente a equação T(x,y)=(0,0) usando a fórmula dada:
(x+y,\;x-y)=(0,0).
Dessa igualdade de pares coordenados obtemos o sistema de equações
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] x-y=0. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema de maneira direta e didática. Uma técnica simples é somar as duas equações para eliminar y. Somando:
(x+y)+(x-y)=0+0 \quad\Rightarrow\quad 2x=0.
Daí
x=0.

Passo 5

Com x=0 vamos à primeira equação x+y=0. Substituindo x=0 obtemos
0+y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Portanto a única solução do sistema é (x,y)=(0,0).

Passo 6

Interpretação e reforço didático: como o único vetor que vai para (0,0) é (0,0) próprio, o núcleo é apenas o conjunto com o vetor nulo. Em linguagem de prova: \ker(T)=\{(0,0)\}. Isso também significa que a transformação é injetora (se quiser lembrar: transformação linear com núcleo trivial é injetora). Um exemplo paralelo e simples para fixar a ideia: a transformação S:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, S(t)=2t, tem núcleo \{0\} porque 2t=0 implica t=0. Já se tivéssemos U(x,y)=(x+y,x+y) (exemplo diferente), então U(x,y)=(0,0) x+y=0 e o núcleo seria a reta \{(x,-x)\mid x\in\mathbb{R}\}.

Resposta

\{(0,0)\}

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