Determine o núcleo das transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y)=(x+y, x-y), para (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y)=(x+y, x-y), para (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
para
. A pergunta é: determinar o núcleo de
, isto é, o conjunto de todos os vetores
que são levados ao vetor nulo em
.
Passo 2
Definição importante (explicação didática): o núcleo de uma transformação linear
é
Aqui
é o vetor nulo em
, que é
. Ou seja, precisamos resolver
Passo 3
Escrevendo explicitamente a equação
usando a fórmula dada:
Dessa igualdade de pares coordenados obtemos o sistema de equações
Passo 4
Vamos resolver o sistema de maneira direta e didática. Uma técnica simples é somar as duas equações para eliminar
. Somando:
Daí
Passo 5
Com
vamos à primeira equação
. Substituindo
obtemos
Portanto a única solução do sistema é
.
Passo 6
Interpretação e reforço didático: como o único vetor que vai para
é
próprio, o núcleo é apenas o conjunto com o vetor nulo. Em linguagem de prova:
. Isso também significa que a transformação é injetora (se quiser lembrar: transformação linear com núcleo trivial é injetora). Um exemplo paralelo e simples para fixar a ideia: a transformação
,
, tem núcleo
porque
implica
. Já se tivéssemos
(exemplo diferente), então
dá
e o núcleo seria a reta
.