Determine a nulidade e o posto das seguintes transformações lineares e construa uma base para o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a nulidade (dimensão do núcleo) e o posto (dimensão da imagem) da transformação linear
A: R^3 to R^3,
A(x1,x2,x3) = (x1+x2+x3,;x1+x2+x3,;x1+x2+x3).
Vamos também construir bases para o núcleo e para a imagem. Esse conteúdo envolve núcleo, imagem, posto e nulidade de transformações lineares.

Passo 2

Para encontrar a imagem de A, note que qualquer vetor (x1,x2,x3) é levado em um vetor com todas as componentes iguais a s = x1 + x2 + x3. Logo:
Im(A) = (s,s,s): s in R = span(1,1,1)

Passo 3

O posto de A é a dimensão de Im(A). Como Im(A) é gerada por um único vetor não nulo, temos
rank(A) = dim(Im(A)) = 1

Passo 4

Para encontrar o núcleo de A, resolvemos
A(x1,x2,x3) = (0,0,0) iff x1 + x2 + x3 = 0
Portanto,
ker(A) = (x1,x2,x3) in R^3 : x1 + x2 + x3 = 0
Uma base para esse plano de equação x1+x2+x3=0 pode ser dada, por exemplo, pelos vetores
$$(1,-1,0) \quade\quad (1,0,-1).
$$

Passo 5

A nulidade de A é a dimensão de ker(A). Como encontramos duas direções independentes no núcleo, temos
nullity(A) = dim(ker(A)) = 2

Resposta

nulidade = 2; posto = 1; base do núcleo = {(1,-1,0),,(1,0,-1)}; base da imagem = {(1,1,1)}.

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