Determine a nulidade e o posto das seguintes transformações lineares e construa uma base para o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a nulidade (dimensão do núcleo) e o posto (dimensão da imagem) da transformação linear
A: ,
.
Vamos também construir bases para o núcleo e para a imagem. Esse conteúdo envolve núcleo, imagem, posto e nulidade de transformações lineares.
A:
Vamos também construir bases para o núcleo e para a imagem. Esse conteúdo envolve núcleo, imagem, posto e nulidade de transformações lineares.
Passo 2
Para encontrar a imagem de
, note que qualquer vetor
é levado em um vetor com todas as componentes iguais a
. Logo:
Passo 3
O posto de
é a dimensão de
. Como
é gerada por um único vetor não nulo, temos
Passo 4
Para encontrar o núcleo de
, resolvemos
Portanto,
Uma base para esse plano de equação
pode ser dada, por exemplo, pelos vetores
$$(1,-1,0) \quade\quad (1,0,-1).
$$
Passo 5
A nulidade de
é a dimensão de
. Como encontramos duas direções independentes no núcleo, temos
Resposta
nulidade = 2; posto = 1; base do núcleo = {(1,-1,0),,(1,0,-1)}; base da imagem = {(1,1,1)}.