Em R^4, os vetores seguintes são linearmente independentes?
((1,0,0,0),(2,-1,1,0),(1,1,4,5))

Passo 1

O exercício está em R^4 e pergunta se os vetores
(1,0,0,0), (2,-1,1,0) e (1,1,4,5) são linearmente independentes; o conteúdo é independência linear e vamos precisar verificar se a única combinação linear que gera o vetor zero é a combinação trivial.

Passo 2

Para testar independência, consideramos a combinação linear
a1(1,0,0,0)+a2(2,-1,1,0)+a3(1,1,4,5)= (0,0,0,0)
Se a única solução for a1=a2=a3=0, então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
a1 + 2a2 + a3 = 0, -,a2 + a3 = 0, a2 + 4a3 = 0, 5a3 = 0
Da quarta equação vem a3=0. Substituindo na segunda, temos -a2=0 logo a2=0. Por fim, na primeira aparece a1=0.

Passo 4

Como chegamos a a1=a2=a3=0 sem opção, concluímos que a única combinação linear que zera é a trivial.
Portanto, os três vetores são linearmente independentes em R^4.

Resposta

Sim, esses vetores são linearmente independentes.

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