Determine a nulidade e o posto das seguintes transformações lineares e construa uma base para o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a nulidade (dimensão do núcleo), o posto (dimensão da imagem) e bases do núcleo e da imagem da transformação linear A:R^3toR^3 dada por
A(x1,x2,x3)=(2x1 - x2 - x3,;x1 - 2x2 + x3,;x1 + x2 - 2x3)
O conteúdo envolve sistemas lineares homogêneos e o Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Para montar o sistema homogêneo, escrevemos a matriz de A na base canônica. Os coeficientes de A(x)=Ax formam
A=2 & -1 & -11 & -2 & 11 & 1 & -2

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos Ax=0. O sistema é
2x1 - x2 - x3=0, x1 - 2x2 + x3=0, x1 + x2 - 2x3=0
Somando adequadamente e eliminando variáveis, obtemos x1=x2=x3. Logo
ker(A)=(t,t,t):tinR=span(1,1,1)

Passo 4

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos
dim(ker A)+dim(im,A)=3
Como dim(ker A)=1, segue que o posto é
dim(im,A)=3-1=2

Passo 5

Para obter uma base da imagem, calculamos A aplicado aos vetores da base canônica:
A(e1)=(2,1,1), A(e2)=(-1,-2,1), A(e3)=(-1,1,-2)
É fácil ver que (2,1,1) e (-1,-2,1) são linearmente independentes, então formam uma base de im,A.

Resposta

Nulidade = 1; Posto = 2; Base do núcleo = {,(1,1,1),}; Base da imagem = {,(2,1,1),😭-1,-2,1),}.

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