Em R^3, os vetores seguintes são linearmente independentes?
((1,0,3),(0,1,2),(2,-3,0))

Passo 1

A questão pede para verificar se os vetores (1,0,3), (0,1,2) e (2,−3,0) em ℝ³ são linearmente independentes. O conteúdo aqui é independência linear de vetores em ℝ³, e vamos usar o critério do determinante (ou, alternativamente, uma combinação linear não trivial) para responder.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas colunas são os vetores dados. Se ,det(A) ≠ 0, então são independentes; se ,det(A)=0, são dependentes.
A= 1 & 0 & 2 0 & 1 & -3 3 & 2 & 0

Passo 3

Calculamos o determinante:
det(A)=1cdot(1cdot0-(-3)cdot2)-0cdot(0cdot0-(-3)cdot3)+2cdot(0cdot2-1cdot3)=1cdot6+2cdot(-3)=6-6=0

Passo 4

Como det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes. De fato, nota-se ainda que
(2,-3,0)=2,(1,0,3)-3,(0,1,2),
ou seja, há uma combinação linear não trivial que anula o terceiro vetor.

Passo 5

Finalizando, os vetores não são linearmente independentes em ℝ³.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes (não independentes), pois det(A)=0 e existe a relação (2,-3,0)=2,(1,0,3)-3,(0,1,2).

Exercícios relacionados