Qual dos polígonos abaixo tem a soma das medidas dos ângulos internos igual a 1260^{\circ} ?
a) octógono
b) pentadecágono
c) eneágono
d) dodecágono
e) quadrilátero

Passo 1

O enunciado pergunta qual dos polígonos listados tem a soma das medidas dos ângulos internos igual a 1260^\circ.\n
Informações fornecidas (cada opção com o número de lados correspondente):
a) octógono — 8 lados\n
b) pentadecágono — 15 lados\n
c) eneágono — 9 lados\n
d) dodecágono — 12 lados\n
e) quadrilátero — 4 lados

Passo 2

Vamos aprender a fórmula que dá a soma S das medidas dos ângulos internos de um polígono com n lados. A ideia básica (triangulação) é: se você escolher um vértice de um polígono convexo com n lados e traçar segmentos desse vértice para todos os outros vértices não adjacentes, o polígono é dividido em (n-2) triângulos. Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a 180^\circ. Portanto, somando os ângulos de todos esses triângulos obtemos a soma dos ângulos internos do polígono. Isso leva à fórmula
S = (n-2)\cdot 180^\circ,
onde n é o número de lados do polígono e S é a soma dos ângulos internos em graus.\n
Exemplo curto para fixar: para um quadrilátero ( n=4) temos S=(4-2)\cdot 180^\circ=2\cdot180^\circ=360^\circ.

Passo 3

Aplicamos a fórmula ao caso em que S=1260^\circ. Escrevemos a equação
(n-2)\cdot 180^\circ = 1260^\circ.
Agora resolvemos para n. Primeiro dividimos ambos os lados por 180^\circ:
n-2 = \frac{1260^\circ}{180^\circ}.
Calculando a divisão:
\frac{1260}{180} = 7,
pois 7\cdot 180 = 7\cdot(100+80)=700+560=1260. Portanto
n-2 = 7 \quad\Rightarrow\quad n = 7+2 = 9.

Passo 4

Vamos checar rapidamente as somas para cada opção (usar a fórmula S=(n-2)\cdot 180^\circ) para confirmar:
a) n=8\Rightarrow S=(8-2)\cdot 180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ\n
b) n=15\Rightarrow S=(15-2)\cdot 180^\circ=13\cdot180^\circ=2340^\circ\n
c) n=9\Rightarrow S=(9-2)\cdot 180^\circ=7\cdot180^\circ=1260^\circ\n
d) n=12\Rightarrow S=(12-2)\cdot 180^\circ=10\cdot180^\circ=1800^\circ\n
e) n=4\Rightarrow S=(4-2)\cdot 180^\circ=2\cdot180^\circ=360^\circ\n
Observação: somente para n=9 a soma dá exatamente 1260^\circ.

Resposta

c) eneágono

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