De um dos vértices de um polígono convexo foi possível traçar 8 diagonais. Então, o polígono tem:
a) 8 lados.
b) 11 lados.
c) 10 lados.
d) 5 lados.
a) 8 lados.
b) 11 lados.
c) 10 lados.
d) 5 lados.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- O polígono é convexo.
- De um dos vértices desse polígono foi possível traçar
diagonais.
A pergunta é: quantos lados tem esse polígono? (ou seja, qual é o valor de
, número de vértices/lados)
Passo 2
Vamos entender o que significa “diagonais traçadas a partir de um vértice”. Considere um polígono com
vértices (portanto
lados). A partir de um vértice fixo podemos ligar esse vértice a todos os outros vértices, salvo a nós mesmos. Então, inicialmente há
segmentos possíveis partindo desse vértice.
Passo 3
Desses
segmentos, dois não são diagonais: são os dois lados que se ligam ao vértice (os segmentos para os vértices imediatamente adjacentes). Portanto o número de diagonais que saem de um vértice é
Aqui
representa o número de lados (ou vértices) do polígono; subtraímos
porque não ligamos o vértice a si mesmo e subtraímos mais
porque as ligações aos vértices adjacentes são lados, não diagonais.
Passo 4
O enunciado diz que a partir de um vértice foram traçadas
diagonais. Usamos a fórmula do passo anterior e montamos a equação
Passo 5
Agora resolvemos a equação para
. Somando
em ambos os lados temos
Portanto o polígono tem
lados. Para checar com um exemplo menor: num pentágono (
) teríamos
diagonais a partir de cada vértice, o que bate com a intuição — então a fórmula é consistente.
Resposta
b)
lados.