De um dos vértices de um polígono convexo foi possível traçar 8 diagonais. Então, o polígono tem:
a) 8 lados.
b) 11 lados.
c) 10 lados.
d) 5 lados.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • O polígono é convexo.
  • De um dos vértices desse polígono foi possível traçar 8 diagonais.
A pergunta é: quantos lados tem esse polígono? (ou seja, qual é o valor de n, número de vértices/lados)

Passo 2

Vamos entender o que significa “diagonais traçadas a partir de um vértice”. Considere um polígono com n vértices (portanto n lados). A partir de um vértice fixo podemos ligar esse vértice a todos os outros vértices, salvo a nós mesmos. Então, inicialmente há n-1 segmentos possíveis partindo desse vértice.

Passo 3

Desses n-1 segmentos, dois não são diagonais: são os dois lados que se ligam ao vértice (os segmentos para os vértices imediatamente adjacentes). Portanto o número de diagonais que saem de um vértice é
n-1-2 = n-3.
Aqui n representa o número de lados (ou vértices) do polígono; subtraímos 1 porque não ligamos o vértice a si mesmo e subtraímos mais 2 porque as ligações aos vértices adjacentes são lados, não diagonais.

Passo 4

O enunciado diz que a partir de um vértice foram traçadas 8 diagonais. Usamos a fórmula do passo anterior e montamos a equação
n-3 = 8.

Passo 5

Agora resolvemos a equação para n. Somando 3 em ambos os lados temos
n = 8 + 3 = 11.
Portanto o polígono tem 11 lados. Para checar com um exemplo menor: num pentágono ( n=5) teríamos 5-3=2 diagonais a partir de cada vértice, o que bate com a intuição — então a fórmula é consistente.

Resposta

b) 11 lados.

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