Determine o número de faces de um poliedro convexo que possui 16 ângulos triedros.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de faces de um poliedro convexo que possui 16 ângulos triedros.
Informações dadas: o poliedro é convexo e possui 16 ângulos triedros.
Observação importante (do enunciado): cada ângulo triedro corresponde a um vértice onde exatamente três faces se encontram.

Passo 2

Entender o que é um ângulo triedro e como ele se relaciona com vértices e arestas.
Um ângulo triedro é formado quando exatamente três faces planas se encontram num mesmo ponto; esse ponto é um vértice do poliedro onde passam três arestas. Assim, cada ângulo triedro corresponde a um vértice de valência 3 (três arestas incidentes).

Passo 3

Relacione vértices e arestas usando a soma dos graus dos vértices.
Regra geral: a soma dos graus (número de arestas incidentes) de todos os vértices é igual a 2 vezes o número de arestas, porque cada aresta incide em dois vértices. Em notação,
\sum_{\text{vértices}} \text{grau}(v) = 2E.é
Se todos os vértices têm grau 3 e o número de vértices é V, então
3V = 2E.

Passo 4

Aplicar a informação do problema ao custo acima.
Pelo enunciado temos V = 16 vértices (os 16 ângulos triedros). Substituindo em 3V = 2E obtemos
3\cdot 16 = 2E.
Calcule:
48 = 2E
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E = 24.

Passo 5

Usar a fórmula de Euler para poliedros convexos.
A fórmula de Euler para qualquer poliedro convexo diz que
V - E + F = 2,
onde V é o número de vértices, E é o número de arestas e F é o número de faces. Nós conhecemos V e E, então podemos encontrar F.

Passo 6

Substituir os valores na fórmula de Euler e resolver para F.
Substituindo V=16 e E=24 em \;V - E + F = 2\; temos
16 - 24 + F = 2.
Calculando:
-8 + F = 2
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F = 10.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check): exemplos simples seguem a mesma lógica.
Por exemplo, um tetraedro tem V=4, todos vértices de grau 3, então E=6 por 3\cdot4=2E e pela fórmula de Euler F=4. O raciocínio é consistente.

Resposta

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