Determine o número de faces de um poliedro convexo que possui 16 ângulos triedros.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de faces de um poliedro convexo que possui
ângulos triedros.
Informações dadas: o poliedro é convexo e possui ângulos triedros.
Observação importante (do enunciado): cada ângulo triedro corresponde a um vértice onde exatamente três faces se encontram.
Informações dadas: o poliedro é convexo e possui
Observação importante (do enunciado): cada ângulo triedro corresponde a um vértice onde exatamente três faces se encontram.
Passo 2
Entender o que é um ângulo triedro e como ele se relaciona com vértices e arestas.
Um ângulo triedro é formado quando exatamente três faces planas se encontram num mesmo ponto; esse ponto é um vértice do poliedro onde passam três arestas. Assim, cada ângulo triedro corresponde a um vértice de valência (três arestas incidentes).
Um ângulo triedro é formado quando exatamente três faces planas se encontram num mesmo ponto; esse ponto é um vértice do poliedro onde passam três arestas. Assim, cada ângulo triedro corresponde a um vértice de valência
Passo 3
Relacione vértices e arestas usando a soma dos graus dos vértices.
Regra geral: a soma dos graus (número de arestas incidentes) de todos os vértices é igual a vezes o número de arestas, porque cada aresta incide em dois vértices. Em notação,
Regra geral: a soma dos graus (número de arestas incidentes) de todos os vértices é igual a
Se todos os vértices têm grau
e o número de vértices é
, então
Passo 4
Aplicar a informação do problema ao custo acima.
Pelo enunciado temos vértices (os
ângulos triedros). Substituindo em
obtemos
Pelo enunciado temos
Calcule:
logo
Passo 5
Usar a fórmula de Euler para poliedros convexos.
A fórmula de Euler para qualquer poliedro convexo diz que
A fórmula de Euler para qualquer poliedro convexo diz que
onde
é o número de vértices,
é o número de arestas e
é o número de faces. Nós conhecemos
e
, então podemos encontrar
.
Passo 6
Substituir os valores na fórmula de Euler e resolver para
.
Substituindo e
em
temos
Substituindo
Calculando:
logo
Passo 7
Verificação rápida (sanity check): exemplos simples seguem a mesma lógica.
Por exemplo, um tetraedro tem , todos vértices de grau
, então
por
e pela fórmula de Euler
. O raciocínio é consistente.
Por exemplo, um tetraedro tem
Resposta
10