Determine um número irracional entre os números 4,33 e \frac{108}{25}.

Passo 1

O enunciado pede um número irracional entre 4,33 e \tfrac{108}{25}. O conteúdo envolvido é a densidade dos números irracionais nos reais: entre quaisquer dois reais sempre existe um irracional. Para aplicar isso, vamos primeiro escrever ambos os limites na forma de fração com mesmo denominador.

Passo 2

Converter cada extremo em centésimos:
4,33 = \frac{433}{100},
\frac{108}{25} = \frac{108\cdot4}{25\cdot4} = \frac{432}{100}.
Logo o intervalo aberto que nos interessa é
\bigl(\tfrac{432}{100},\,\tfrac{433}{100}\bigr).

Passo 3

Esse intervalo tem comprimento
\tfrac{433}{100} - \tfrac{432}{100} = \tfrac{1}{100}.
Basta então escolher um irracional cujo desvio de \tfrac{432}{100} seja menor que \tfrac{1}{100}. Como \sqrt{2} é irracional, considere
x = \frac{432}{100} + \frac{\sqrt{2}}{1000}.

Passo 4

Verificações:
  1. \frac{\sqrt{2}}{1000}>0 implica
x > \frac{432}{100}.
  1. \frac{\sqrt{2}}{1000}<\frac{1,4143}{1000}<\frac{10}{1000}=\frac{1}{100} implica
x < \frac{432}{100} + \frac{1}{100} = \frac{433}{100}.
Portanto x está estritamente entre \tfrac{432}{100} e \tfrac{433}{100}, e é irracional porque soma um racional com \sqrt{2} escalado.

Resposta

x = \frac{432}{100} + \frac{\sqrt{2}}{1000}
é um número irracional que satisfaz
\frac{108}{25} < x < 4,33.

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