(2,0 pontos) Seja a equaçāo:
4 x^{2}-y^{2}=36
(a) Classifique essa cónica e determine seus elementos principais (focos, vértices, eixo de simetria, assintotas…).
(b) Determine os valores de m para os quais a reta 2 y-5 x-2 m e tangente a conica.
(c) esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4x^{2}-y^{2}=36
e pede três coisas:
(a) classificar a cônica e determinar seus elementos principais (vértices, focos, centro, eixos, assíntotas, excentricidade etc.);
(b) encontrar os valores de m tais que a reta 2y-5x-2m=0 seja tangente à cônica;
(c) esboçar o gráfico da cônica (descrever como desenhar).
As informações relevantes que temos: a equação explícita da cônica e a equação da reta em função de m. A reta pode ser escrita como y=\dfrac{5}{2}x+m.

Passo 2

Colocar a equação da cônica em forma padrão para reconhecer o tipo. Divido ambos os lados por 36:
\frac{4x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{36}=1.
Simplificando:
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{36}=1.
Esta é a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem com termos \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1. Vou explicar o que cada símbolo significa:
  • \,a^{2}\, é o termo sob x^{2} (quando a hipérbole tem o \,x^{2} positivo) e determina a distância do centro até os vértices na direção do eixo transverso;
  • \,b^{2}\, é o termo sob y^{2} e determina a semi-conjugada;
  • os vértices ficam em (\pm a,0) (porque o termo positivo é x^{2});
  • os focos ficam em (\pm c,0) com c definido por c^{2}=a^{2}+b^{2};
  • as assíntotas da hipérbole são as retas y=\pm\frac{b}{a}\,x;
  • a excentricidade e é e=\dfrac{c}{a}.

Passo 3

Identifico a^{2}=9 e b^{2}=36. Logo:
a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{36}=6.
Calculo c por
c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+36=45, \qquad c=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{3\sqrt{5}}{3}=\sqrt{5}.

Passo 4

Com os valores obtidos, listo os elementos principais:
  • Centro: (0,0).
  • Eixo transverso: eixo x (porque o termo positivo é x^{2}).
  • Vértices: \big(\pm a,0\big)=\big(\pm 3,0\big).
  • Focos: \big(\pm c,0\big)=\big(\pm 3\sqrt{5},0\big).
  • Semi-eixo conjugado: b=6.
  • Assíntotas: como b/a=6/3=2, as assíntotas são
y=2x\qquad\text{e}\qquad y=-2x.
Anoto também a forma canônica que confirma: \dfrac{x^{2}}{3^{2}}-\dfrac{y^{2}}{6^{2}}=1.

Passo 5

Agora trato a parte (b). Escrevo a reta dada em forma explícita de y:
2y-5x-2m=0\quad\Rightarrow\quad y=\frac{5}{2}x+m.
Para que essa reta seja tangente à hipérbole, ao substituir y na equação da hipérbole deve-se obter uma equação em x que tenha uma única solução (interseção dupla). Ou seja, o discriminante do polinômio em x resultante deve ser igual a zero. Vou fazer essa substituição.

Passo 6

Substituo y=\dfrac{5}{2}x+m em 4x^{2}-y^{2}=36:
4x^{2}-\Big(\frac{5}{2}x+m\Big)^{2}=36.
Expando o quadrado:
4x^{2}-\Big(\frac{25}{4}x^{2}+5mx+m^{2}\Big)=36.
Multiplico tudo por 4 para eliminar frações:
16x^{2}-\big(25x^{2}+20mx+4m^{2}\big)=144.
Faço as operações:
16x^{2}-25x^{2}-20mx-4m^{2}-144=0.
Organizo como polinômio em x:
-9x^{2}-20mx-(4m^{2}+144)=0.
Multiplico por -1 para ficar com coeficiente positivo em x^{2}:
9x^{2}+20mx+(4m^{2}+144)=0.

Passo 7

Para que haja tangência o discriminante dessa quadrática deve ser zero. O discriminante é
\Delta=(20m)^{2}-4\cdot 9\cdot(4m^{2}+144).
Calculo passo a passo:
(20m)^{2}=400m^{2},
4\cdot 9\cdot(4m^{2}+144)=36(4m^{2}+144)=144m^{2}+5184.
Então
\Delta=400m^{2}-(144m^{2}+5184)=256m^{2}-5184.
Impondo \Delta=0:
256m^{2}-5184=0\quad\Rightarrow\quad 256m^{2}=5184.
Divido por 256:
m^{2}=\frac{5184}{256}=\frac{324}{16}=\frac{81}{4}.
Logo
m=\pm\frac{9}{2}.

Passo 8

Opcional — encontro os pontos de tangência (útil para o esboço): quando m=\dfrac{9}{2}, a quadrática (do Passo 6) fica
9x^{2}+90x+225=0.
Divide por 9:
x^{2}+10x+25=0\quad\Rightarrow\quad (x+5)^{2}=0,
logo x=-5. O correspondente y vale
y=\frac{5}{2}(-5)+\frac{9}{2}=-\frac{25}{2}+\frac{9}{2}=-8.
Ponto de tangência: \big(-5,-8\big).
Quando m=-\dfrac{9}{2}, a quadrática é
9x^{2}-90x+225=0,
dividindo por 9 fica (x-5)^{2}=0, então x=5. E
y=\frac{5}{2}\cdot 5 -\frac{9}{2}=\frac{25}{2}-\frac{9}{2}=8.
Ponto de tangência: \big(5,8\big).

Passo 9

Como esboçar o gráfico (parte (c)) — instruções práticas e intuitivas:
  • Marcar o centro em (0,0).
  • Marcar os vértices em (3,0) e (-3,0); as duas “ramos” da hipérbole ficam voltadas para direita e esquerda a partir desses vértices.
  • Marcar os focos em \big(\pm 3\sqrt{5},0\big) (mais afastados que os vértices).
  • Desenhar as assíntotas y=2x e y=-2x como duas retas passando pela origem — elas formam a “quebra” para onde as ramificações se aproximam.
  • Desenhar uma curva em torno do vértice (3,0) que se aproxima das assíntotas quando |x| aumenta, e simetricamente a outra curva ao redor de (-3,0).
  • Opcionalmente marcar os pontos de tangência (5,8) e (-5,-8) e verificar que as retas y=\tfrac{5}{2}x\pm\tfrac{9}{2} tocam a hipérbole nesses pontos (isso confirma a geometria).

Resposta

(a) Hipérbole do tipo \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{36}=1; centro (0,0); vértices \big(\pm 3,0\big); focos \big(\pm 3\sqrt{5},0\big); assíntotas y=2x e y=-2x; a=3, b=6, c=3\sqrt{5}, excentricidade e=\sqrt{5}.
(b) m=\pm \dfrac{9}{2}.
(c) Esboço: duas ramas simétricas à esquerda e à direita com vértices em (\pm 3,0), aproximando-se das assíntotas y=\pm 2x; pontos de tangência das retas y=\dfrac{5}{2}x+m ocorrem em (5,8) para m=-\dfrac{9}{2} e em (-5,-8) para m=\dfrac{9}{2}.

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