(2,0 pontos) Seja a equaçāo:
(a) Classifique essa cónica e determine seus elementos principais (focos, vértices, eixo de simetria, assintotas…).
(b) Determine os valores de
para os quais a reta
e tangente a conica.
(c) esboce seu gráfico.
(b) Determine os valores de
(c) esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede três coisas:
(a) classificar a cônica e determinar seus elementos principais (vértices, focos, centro, eixos, assíntotas, excentricidade etc.);
(b) encontrar os valores de tais que a reta
seja tangente à cônica;
(c) esboçar o gráfico da cônica (descrever como desenhar).
As informações relevantes que temos: a equação explícita da cônica e a equação da reta em função de . A reta pode ser escrita como
.
(a) classificar a cônica e determinar seus elementos principais (vértices, focos, centro, eixos, assíntotas, excentricidade etc.);
(b) encontrar os valores de
(c) esboçar o gráfico da cônica (descrever como desenhar).
As informações relevantes que temos: a equação explícita da cônica e a equação da reta em função de
Passo 2
Colocar a equação da cônica em forma padrão para reconhecer o tipo. Divido ambos os lados por
:
Simplificando:
Esta é a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem com termos
. Vou explicar o que cada símbolo significa:
-
é o termo sob (quando a hipérbole tem o positivo) e determina a distância do centro até os vértices na direção do eixo transverso; -
é o termo sob e determina a semi-conjugada; - os vértices ficam em
(porque o termo positivo é ); - os focos ficam em
com definido por ; - as assíntotas da hipérbole são as retas
; - a excentricidade
é .
Passo 3
Identifico
e
. Logo:
Calculo
por
A excentricidade é
Passo 4
Com os valores obtidos, listo os elementos principais:
- Centro:
. - Eixo transverso: eixo
(porque o termo positivo é ). - Vértices:
. - Focos:
. - Semi-eixo conjugado:
. - Assíntotas: como
, as assíntotas são
Anoto também a forma canônica que confirma:
.
Passo 5
Agora trato a parte (b). Escrevo a reta dada em forma explícita de
:
Para que essa reta seja tangente à hipérbole, ao substituir
na equação da hipérbole deve-se obter uma equação em
que tenha uma única solução (interseção dupla). Ou seja, o discriminante do polinômio em
resultante deve ser igual a zero. Vou fazer essa substituição.
Passo 6
Substituo
em
:
Expando o quadrado:
Multiplico tudo por
para eliminar frações:
Faço as operações:
Organizo como polinômio em
:
Multiplico por
para ficar com coeficiente positivo em
:
Passo 7
Para que haja tangência o discriminante dessa quadrática deve ser zero. O discriminante é
Calculo passo a passo:
Então
Impondo
:
Divido por
:
Logo
Passo 8
Opcional — encontro os pontos de tangência (útil para o esboço): quando
, a quadrática (do Passo 6) fica
Divide por
:
logo
. O correspondente
vale
Ponto de tangência:
.
Quando
, a quadrática é
dividindo por
fica
, então
. E
Ponto de tangência:
.
Passo 9
Como esboçar o gráfico (parte (c)) — instruções práticas e intuitivas:
- Marcar o centro em
. - Marcar os vértices em
e ; as duas “ramos” da hipérbole ficam voltadas para direita e esquerda a partir desses vértices. - Marcar os focos em
(mais afastados que os vértices). - Desenhar as assíntotas
e como duas retas passando pela origem — elas formam a “quebra” para onde as ramificações se aproximam. - Desenhar uma curva em torno do vértice
que se aproxima das assíntotas quando aumenta, e simetricamente a outra curva ao redor de . - Opcionalmente marcar os pontos de tangência
e e verificar que as retas tocam a hipérbole nesses pontos (isso confirma a geometria).
Resposta
(a) Hipérbole do tipo
; centro
; vértices
; focos
; assíntotas
e
;
,
,
, excentricidade
.
(b) .
(c) Esboço: duas ramas simétricas à esquerda e à direita com vértices em , aproximando-se das assíntotas
; pontos de tangência das retas
ocorrem em
para
e em
para
.
(b)
(c) Esboço: duas ramas simétricas à esquerda e à direita com vértices em