As progressōes aritméticas 5,8,11, \ldots e 3,7,11, \ldots têm 100 termos cada uma. Determine o número de termos iguais nas duas progressōes.

Passo 1

O enunciado dá duas progressões aritméticas (PA), cada uma com 100 termos, e pede o número de termos que aparecem em ambas (ou seja, quantos termos são iguais nas duas PAs). As informações dadas são:
  • Primeira PA: 5,8,11,\ldots com 100 termos.
  • Segunda PA: 3,7,11,\ldots com 100 termos.
    A pergunta é: quantos termos iguais existem entre essas duas sequências de 100 termos cada?

Passo 2

Lembrete útil (fórmula de PA). Se uma progressão aritmética tem primeiro termo a_1 e razão d, então o n-ésimo termo é dado por
a_n = a_1 + (n-1)\,d,
onde n é um inteiro positivo que indica a posição do termo. Aqui:
  • a_1 é o primeiro termo (o termo na posição n=1);
  • d é a diferença comum entre termos consecutivos;
  • n varia de 1 até o número total de termos.

Passo 3

Aplicando a fórmula às duas PAs para obter a expressão geral de cada termo:
  • Na primeira PA o primeiro termo é 5 e a razão é 3. Assim, o n-ésimo termo (com n=1,2,\ldots,100) é
a_n = 5 + (n-1)\cdot 3 = 3n + 2.
  • Na segunda PA o primeiro termo é 3 e a razão é 4. Assim, o m-ésimo termo (com m=1,2,\ldots,100) é
b_m = 3 + (m-1)\cdot 4 = 4m - 1.

Passo 4

Para termos iguais precisamos de inteiros n e m tais que
3n + 2 = 4m - 1.
Reescrevendo,
3n = 4m - 3.
Queremos resolver esta equação em inteiros positivos n e m dentro dos intervalos 1\le n\le 100 e 1\le m\le 100.

Passo 5

Análise modular para achar restrições. Tomando a igualdade 3n = 4m - 3 módulo 3:
4m - 3 \equiv m \pmod{3}
porque 4\equiv 1\pmod{3} e -3\equiv 0\pmod{3}. Como o lado esquerdo é múltiplo de 3, isso força
m \equiv 0 \pmod{3}.
Portanto m é múltiplo de 3. Escrevemos m = 3k com k inteiro positivo.

Passo 6

Substituindo m=3k na expressão do termo comum:
b_m = 4m - 1 = 4(3k) - 1 = 12k - 1.
Também podemos obter n em função de k: de 3n = 4m - 3 e m=3k vem
3n = 4(3k) - 3 = 12k - 3 \quad\Rightarrow\quad n = 4k - 1.
Assim cada inteiro k\ge 1 gera um termo comum 12k-1, que aparece na primeira PA na posição n=4k-1 e na segunda PA na posição m=3k.

Passo 7

Precisamos agora impor as restrições de que n e m estejam entre 1 e 100.
  • De m=3k com 1\le m\le 100 segue
1 \le 3k \le 100 \quad\Rightarrow\quad 1 \le k \le \left\lfloor\frac{100}{3}\right\rfloor = 33.
  • De n=4k-1 com 1\le n\le 100 segue
1 \le 4k-1 \le 100 \quad\Rightarrow\quad 2 \le 4k \le 101 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2} \le k \le \frac{101}{4}.
Como k é inteiro, isso dá 1 \le k \le \left\lfloor\frac{101}{4}\right\rfloor = 25.
A interseção dessas duas restrições é k=1,2,\ldots,25.

Passo 8

Portanto existem 25 valores possíveis de k que geram termos comuns dentro dos 100 primeiros termos de cada PA. Como cada k diferente produz um termo comum distinto ( 12k-1), o número de termos iguais nas duas progressões é 25.

Resposta

25

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