As progressōes aritméticas
e
têm 100 termos cada uma. Determine o número de termos iguais nas duas progressōes.
Passo 1
O enunciado dá duas progressões aritméticas (PA), cada uma com
termos, e pede o número de termos que aparecem em ambas (ou seja, quantos termos são iguais nas duas PAs). As informações dadas são:
- Primeira PA:
com termos. - Segunda PA:
com termos.
A pergunta é: quantos termos iguais existem entre essas duas sequências determos cada?
Passo 2
Lembrete útil (fórmula de PA). Se uma progressão aritmética tem primeiro termo
e razão
, então o
-ésimo termo é dado por
onde
é um inteiro positivo que indica a posição do termo. Aqui:
-
é o primeiro termo (o termo na posição ); -
é a diferença comum entre termos consecutivos; -
varia de até o número total de termos.
Passo 3
Aplicando a fórmula às duas PAs para obter a expressão geral de cada termo:
- Na primeira PA o primeiro termo é
e a razão é . Assim, o -ésimo termo (com ) é
- Na segunda PA o primeiro termo é
e a razão é . Assim, o -ésimo termo (com ) é
Passo 4
Para termos iguais precisamos de inteiros
e
tais que
Reescrevendo,
Queremos resolver esta equação em inteiros positivos
e
dentro dos intervalos
e
.
Passo 5
Análise modular para achar restrições. Tomando a igualdade
módulo
:
porque
e
. Como o lado esquerdo é múltiplo de
, isso força
Portanto
é múltiplo de
. Escrevemos
com
inteiro positivo.
Passo 6
Substituindo
na expressão do termo comum:
Também podemos obter
em função de
: de
e
vem
Assim cada inteiro
gera um termo comum
, que aparece na primeira PA na posição
e na segunda PA na posição
.
Passo 7
Precisamos agora impor as restrições de que
e
estejam entre
e
.
- De
com segue
- De
com segue
Como
é inteiro, isso dá
.
A interseção dessas duas restrições é
.
Passo 8
Portanto existem
valores possíveis de
que geram termos comuns dentro dos
primeiros termos de cada PA. Como cada
diferente produz um termo comum distinto (
), o número de termos iguais nas duas progressões é
.
Resposta
25