Encontre a expansão em série de Laurent em torno do ponto z0=0 da função
f(z)=1z^4+9 z^2
no anel D=z in C|3<|z|<infty

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
f(z)=1z^4+9z^2
no anel D=zinCmid 3<|z|<infty.
O conteúdo principal aqui é usar a fatoração do denominador para obter uma forma de série geométrica válida para |z|>3.

Passo 2

Fatoramos o denominador em
z^4+9z^2=z^2(z^2+9),
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f(z)=1z^2(z^2+9)

Passo 3

Para usar a série geométrica, escrevemos
z^2+9=z^2l(1+9z^2r),
de onde
f(z) =1z^2cdot z^2l(1+9z^2r) =1z^4;11+9z^2
Como no anel dado temos l|tfrac9z^2r|<1 (isto vale sempre que |z|>3), podemos expandir
11+w=sumn=0^infty(-1)^nw^n
com w=tfrac9z^2.

Passo 4

Aplicando a expansão geométrica obtemos
11+9z^2 =sumn=0^infty(-1)^nl(9z^2r)^n =sumn=0^infty(-1)^n9^nz^-2n
Multiplicando por 1/z^4 chega-se à série de Laurent desejada:
f(z) =1z^4sumn=0^infty(-1)^n9^nz^-2n =sumn=0^infty(-1)^n9^n,z^-4-2n

Resposta

boxed f(z)=sumn=0^infty(-1)^n9^n,z^-4-2n, 3<|z|<infty

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