Determine os números críticos da função f(x)=(x+5)^2 cdot raiz[3]x-4.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os números críticos da função
f(x) = (x+5)^2,raiz[3]x-4
O conteúdo aqui é derivada de produto e pontos onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe. Precisamos achar f'(x) usando a regra do produto e da cadeia, depois resolver f'(x)=0 e identificar onde f'(x) falha em existir.

Passo 2

Aplicando regra do produto em
f(x) = (x+5)^2,(x-4)^tfrac13
temos
f'(x) = 2(x+5),(x-4)^tfrac13 ;+;(x+5)^2,tfrac13,(x-4)^-tfrac23

Passo 3

Para resolver f'(x)=0, fatoramos um termo comum. Observe que o menor expoente em (x-4) é -tfrac23. Logo
f'(x) = (x+5),(x-4)^-tfrac23l[2(x-4) + tfrac13,(x+5)r]
Dentro dos colchetes:
2(x-4) + tfrac13(x+5) = 6(x-4) + (x+5)3 = 7x - 193
Então
f'(x) = 13,(x+5),(7x-19),(x-4)^-tfrac23

Passo 4

As soluções de f'(x)=0 vêm de zerar o numerador:
x+5=0 ;Rightarrow; x=-5, 7x-19=0 ;Rightarrow; x=tfrac197
Além disso, f'(x) não existe quando o fator (x-4)^-tfrac23 fica indefinido, ou seja, em
x-4=0 Rightarrow x=4

Resposta

Os números críticos de f são
x = -5, x = tfrac197, x = 4

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