Exercício 7. (Apostol seção 4.4 exercícios 5, 7, 8, 9) Para cada uma das situações abaixo, considere
um espaço vetorial,
uma transformação linear e ache os autovalores e autovetores de
:
.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores
e autovetores não nulos
de
ou seja, resolver
Passo 2
Observamos que, para
contínua, o lado esquerdo é diferenciável em
com derivada
. Logo, derivando a equação dos autovalores, obtemos
Passo 3
A equação diferencial
é de primeira ordem e separável. Escrevendo
e integrando, vem
com constante
.
Passo 4
Substituindo
na definição de
:
Para que a integral imprópria convirja em
, é preciso que
, o que ocorre somente se
.
Resposta
Os autovalores de
são todos os
.
Para cada , o autovetor associado (até fator constante) é
Para cada