Exercício 7. (Apostol seção 4.4 exercícios 5, 7, 8, 9) Para cada uma das situações abaixo, considere V um espaço vetorial, T: V V uma transformação linear e ache os autovalores e autovetores de T :
V=f in C(R), exists integral0^x f(t) d t, forall x in R, T f=integral-infty^x f(t) d t.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores lambda e autovetores não nulos f de
Tcolon Vto V, (T f)(x)=integral-infty^xf(t),dt,
ou seja, resolver
integral-infty^xf(t),dt=lambda,f(x)

Passo 2

Observamos que, para fin V contínua, o lado esquerdo é diferenciável em x com derivada f(x). Logo, derivando a equação dos autovalores, obtemos
f(x)=lambda,f'(x)

Passo 3

A equação diferencial ;f(x)=lambda,f'(x); é de primeira ordem e separável. Escrevendo
f'(x)f(x)=1lambda
e integrando, vem
f(x)=C,e^x/lambda,
com constante Cneq0.

Passo 4

Substituindo f(x)=C,e^x/lambda na definição de T:
integral-infty^xC,e^t/lambda,dt = C[lambda,e^t/lambda]t=-infty^t=x = C,lambda,e^x/lambda =lambda,f(x)
Para que a integral imprópria convirja em tto-infty, é preciso que e^t/lambdato0, o que ocorre somente se lambda>0.

Resposta

Os autovalores de T são todos os lambda>0.
Para cada lambda>0, o autovetor associado (até fator constante) é
f(x)=e^x/lambda

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