1. Determine 3 números positivos cuja soma seja alpha e o produto o maior possível.

Passo 1

O enunciado pede três números positivos a,b,c tais que
a + b + c = alpha
e que maximizem o produto
P = a,b,c
Esse é um problema de otimização com restrição de soma; vamos usar a desigualdade aritmético–geométrica (AM–GM).

Passo 2

Pela AM–GM, para a,b,c > 0 vale
a + b + c3 ;>=; raiz[3]a,b,c
Como a + b + c = alpha, temos
raiz[3]a,b,c <= alpha3 Longrightarrow a,b,c <= (alpha3)^3
A igualdade ocorre se e somente se a = b = c.

Passo 3

Para atingir o máximo de a,b,c é necessário a=b=c. Da soma a+b+c=alpha segue
a = b = c = alpha3
Substituindo, o produto máximo fica
a,b,c = (alpha3)^3

Resposta

Os três números são dfracalpha3,;dfracalpha3,;dfracalpha3 e o produto máximo é l(tfracalpha3r)^3.

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