Se Lf(t)=F(s) e a>0 é uma constante, mostre que
Lf(a t)=1a F(sa)
Este resultado é conhecido como o teorema de mudança de escala.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de escala na transformada de Laplace: se
Lf(t) = F(s)
e a>0, então
Lf(a t) = 1a,F!l(sar)
Vamos usar a definição integral da transformada de Laplace e uma mudança de variável adequada.

Passo 2

Começamos pela definição:
Lf(a t) = integral0^infty e^-s t,f(a t),dt

Passo 3

Fazemos a substituição de variável
u = a,t Longrightarrow t = ua, dt = dua
Como a>0, os limites t=0toinfty viram u=0toinfty.

Passo 4

Substituindo na integral:
Lf(a t) = integral0^infty e^-s,(u/a),f(u),dua = 1aintegral0^infty e^-sa,u,f(u),du
Por definição, a integral integral0^infty e^-(s/a)uf(u),du é exatamente F(s/a).

Passo 5

Portanto concluímos que
Lf(a t) = 1a,F!l(sar),
que é o teorema de mudança de escala.

Resposta

Lf(a t) = 1a,F!l(sar)

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