Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Caso seja exata, encontre a sua solução geral.
(x^3+y^2) d x+(2 x y+cos y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x^3+y^2r),dx + l(2xy+cos yr),dy = 0
e pede para verificarmos se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrarmos sua solução geral. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, que exige checar se
partial M/partial y = partial N/partial x
e, se for exata, construir uma função potencial psi(x,y) tal que psix=M e psiy=N.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=x^3+y^2, N(x,y)=2xy+cos y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão, existe psi(x,y) com
psix = M = x^3+y^2
Integramos em relação a x:
psi(x,y)=integral (x^3+y^2),dx = x^44+x,y^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora usamos
psiy = 2xy + h'(y) stackrel!= N = 2xy+cos y
para obter
h'(y)=cos y Longrightarrow h(y)=sin y
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psi(x,y)=x^44+x,y^2+sin y

Resposta

x^44+x,y^2+sin y = C

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