Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Caso seja exata, encontre a sua solução geral.
(3 x^2+6 x y^2) d x+(6 x^2 y+4 y^3) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
l(3x^2+6xy^2r),dx+l(6x^2y+4y^3r),dy=0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. Vamos usar a definição de equação exata e o método da função potencial.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=3x^2+6xy^2, N(x,y)=6x^2y+4y^3
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y =partialpartial yl(3x^2+6xy^2r) =12xy,
partial Npartial x =partialpartial xl(6x^2y+4y^3r) =12xy

Passo 3

Como
partial Mpartial y =partial Npartial x,
a EDO é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M e partial phipartial y=N
Integrando phix=M em relação a x,
phi(x,y)=integrall(3x^2+6xy^2r),dx =x^3+3x^2y^2+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Derivando essa expressão em relação a y,
partial phipartial y =6x^2y+h'(y)
deve ser igual a N=6x^2y+4y^3. Logo,
h'(y)=4y^3 Longrightarrow h(y)=y^4
Portanto,
phi(x,y)=x^3+3x^2y^2+y^4

Resposta

A solução geral é
x^3+3x^2y^2+y^4=C,
onde C é constante de integração.

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