Determine os números reais a, b, c e d para que as identidades de polinômios sejam verdadeiras:
a x^{2}+b x+c=(a x-d)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os reais a,b,c,d tais que a identidade de polinômios
a x^{2} + b x + c = (a x - d)^{2}
vale para todo x. O conteúdo é comparação de coeficientes em identidades de polinômios.

Passo 2

Começamos expandindo o lado direito:
(a x - d)^{2} = a^{2}x^{2} - 2ad\,x + d^{2}.
Como a igualdade deve valer para todo x, igualamos coeficientes de x^{2}, de x e o termo constante.

Passo 3

Comparando coeficientes de x^{2}:
a = a^{2} \quad\Longrightarrow\quad a\,(a - 1)=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0\;\text{ou}\;a=1.

Passo 4

Caso a=0:
  • Do coeficiente de x no membro esquerdo temos b, e no direito é -2ad = -2\cdot0\cdot d = 0. Logo
    b=0. - Do termo constante igualamos c = d^{2}.
    Portanto, para a=0 obtemos
b=0,\quad c=d^{2},\quad d\in\mathbb{R}.

Passo 5

Caso a=1:
  • Do coeficiente de x temos
b = -2a d = -2\cdot1\cdot d = -2d.
  • Do termo constante
c = d^{2}.
Assim, para a=1 obtemos
b=-2d,\quad c=d^{2},\quad d\in\mathbb{R}.

Resposta

As soluções reais (a,b,c,d) são exatamente duas famílias, parametrizadas por d\in\mathbb{R}:
  1. a=0,\;b=0,\;c=d^{2},\;d arbitrário.
  2. a=1,\;b=-2d,\;c=d^{2},\;d arbitrário.

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