a) Determine números reais a, b e c tais que
a(3,1)+b(6,2)+c(-1,1)=(5,6)
b) A solução é única na parte (a).

Passo 1

O enunciado pede para determinar números reais a, b e c tais que a combinação linear de vetores em ℝ² satisfaz (5,6) e, em seguida, verificar se a solução é única. O conteúdo envolvido é combinação linear de vetores, sistemas lineares e dependência linear.

Passo 2

Escrevemos a combinação pedida como vetor em componentes: a(3,1)+b(6,2)+c(−1,1)=(5,6). Isso gera o sistema de equações obtido ao igualar componentes correspondentes:
A partir de igualar as componentes temos o sistema
3a+6b - c = 5, a+2b + c = 6

Passo 3

Observamos que há 3 incógnitas e apenas 2 equações, refletindo o fato de que os vetores (3,1) e (6,2) são linearmente dependentes (pois (6,2)=2·(3,1)). Logo, o grau de liberdade é 1, isto é, esperamos infinitas soluções.

Passo 4

Somando as duas equações do sistema eliminamos c:
(3a+6b - c) + (a+2b + c) = 5 + 6
que dá
4a + 8b = 11
e, dividindo por 4,
a + 2b = 114
Da segunda equação original temos c = 6 - (a+2b) = 6 - tfrac114 = tfrac134

Passo 5

Escolhemos um parâmetro livre tinR para b, ou seja b=t. Então
a = 114 - 2t,
e já temos c=tfrac134. Isso mostra a família de soluções parametrizada por t.

Resposta

As soluções são dadas por
a = \tfrac{11}{4} - 2t,
b = t,
c = \tfrac{13}{4},
para todo t∈ℝ.
Portanto, não há solução única: existem infinitas soluções parametrizadas por t.

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