a) Determine números reais
e
tais que
b) A solução é única na parte (a).
Passo 1
O enunciado pede para determinar números reais a, b e c tais que a combinação linear de vetores em ℝ² satisfaz (5,6) e, em seguida, verificar se a solução é única. O conteúdo envolvido é combinação linear de vetores, sistemas lineares e dependência linear.
Passo 2
Escrevemos a combinação pedida como vetor em componentes: a(3,1)+b(6,2)+c(−1,1)=(5,6). Isso gera o sistema de equações obtido ao igualar componentes correspondentes:
A partir de igualar as componentes temos o sistema
Passo 3
Observamos que há 3 incógnitas e apenas 2 equações, refletindo o fato de que os vetores (3,1) e (6,2) são linearmente dependentes (pois (6,2)=2·(3,1)). Logo, o grau de liberdade é 1, isto é, esperamos infinitas soluções.
Passo 4
Somando as duas equações do sistema eliminamos c:
que dá
e, dividindo por 4,
Da segunda equação original temos
Passo 5
Escolhemos um parâmetro livre
para b, ou seja
. Então
e já temos
. Isso mostra a família de soluções parametrizada por t.
Resposta
As soluções são dadas por
a = \tfrac{11}{4} - 2t,
b = t,
c = \tfrac{13}{4},
para todo t∈ℝ.
Portanto, não há solução única: existem infinitas soluções parametrizadas por t.
a = \tfrac{11}{4} - 2t,
b = t,
c = \tfrac{13}{4},
para todo t∈ℝ.
Portanto, não há solução única: existem infinitas soluções parametrizadas por t.