II) Dados os operadores lineares abaixo, podemos afirmar que:
\begin{aligned} & T_{1}: I R^{3} \rightarrow I R^{3}, T_{1}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}, \mathrm{y}+\mathrm{z}, \mathrm{z}) \\\ & T_{2}: I R^{3} \rightarrow I R^{3}, T_{2}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{z}, \mathrm{y},-\mathrm{x}) \end{aligned}
(a) O operador T_{1} é ortogonal
(b) O operador T_{2} é ortogonal
(c) Nenhum operador é ortogonal
(d) Todos os operadores são ortogonais

Passo 1

O enunciado nos dá dois operadores lineares
T_{1}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T_{1}(x,y,z)=(x+y+z,\;y+z,\;z)
T_{2}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T_{2}(x,y,z)=(z,\;y,\;-x)
Queremos saber quais operadores são ortogonais, ou seja, preservam o produto interno padrão, o que equivale a suas matrizes satisfazerem M^{T}M=I.

Passo 2

Encontrar a matriz de T_{1} na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}. Calculamos
T_{1}(e_{1})=T_{1}(1,0,0)=(1,0,0),\quad T_{1}(e_{2})=(1,1,0),\quad T_{1}(e_{3})=(1,1,1).
Logo
M_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Verificar se M_{1} é ortogonal conferindo se suas colunas são ortonormais. As colunas são
\mathbf{v}_{1}=(1,0,0) e \mathbf{v}_{2}=(1,1,0), e
\mathbf{v}_{1}\cdot \mathbf{v}_{2}=1\neq0.
Como colunas distintas não são perpendiculares, M_{1}^{T}M_{1}\neq I. Portanto T_{1} não é ortogonal.

Passo 4

Encontrar a matriz de T_{2}. Calculamos
T_{2}(e_{1})=(0,0,-1),\quad T_{2}(e_{2})=(0,1,0),\quad T_{2}(e_{3})=(1,0,0),
logo
M_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Verificar se M_{2} é ortogonal examinando suas colunas
\mathbf{u}_{1}=(0,0,-1), \mathbf{u}_{2}=(0,1,0), \mathbf{u}_{3}=(1,0,0). Temos
\|\mathbf{u}_{i}\|=1 para todo i e \mathbf{u}_{i}\cdot \mathbf{u}_{j}=0 para i\neq j.
Logo M_{2}^{T}M_{2}=I, ou seja, T_{2} é ortogonal.

Resposta

(b)

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