II) Dados os operadores lineares abaixo, podemos afirmar que:
(a)
operador
é ortogonal
(b)
operador
é ortogonal
(c) Nenhum operador é ortogonal
(d) Todos os operadores são ortogonais
(b)
(c) Nenhum operador é ortogonal
(d) Todos os operadores são ortogonais
Passo 1
O enunciado nos dá dois operadores lineares
Queremos saber quais operadores são ortogonais, ou seja, preservam o produto interno padrão, o que equivale a suas matrizes satisfazerem
.
Passo 2
Encontrar a matriz de
na base canônica
. Calculamos
Logo
Passo 3
Verificar se
é ortogonal conferindo se suas colunas são ortonormais. As colunas são
e
, e
Como colunas distintas não são perpendiculares,
. Portanto
não é ortogonal.
Passo 4
Encontrar a matriz de
. Calculamos
logo
Passo 5
Verificar se
é ortogonal examinando suas colunas
,
,
. Temos
para todo
e
para
.
Logo , ou seja,
é ortogonal.
Logo
Resposta
(b)