Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear. Considerando as bases A=\{(1,0),(0,1)\} e B=\{(2,0),(1,2)\} e sabendo que [T]_{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]. Determinar [T]_{B}.
(vale 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado define um operador linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica A=\{(1,0),(0,1)\} é
[T]_{A}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}.
Queremos encontrar a matriz de T na base B=\{v_1,v_2\} com v_1=(2,0) e v_2=(1,2). A ideia é calcular T(v_1) e T(v_2) em coordenadas canônicas e depois reescrevê-los em coordenadas da base B, obtendo assim as colunas de [T]_B.

Passo 2

Definimos explicitamente os vetores de B:
v_1=(2,0),\quad v_2=(1,2).

Passo 3

Calculamos T(v_1) em coordenadas canônicas e achamos suas coordenadas em B.
T(v_1)=T(2,0)=[T]_A\,(2,0)=(1\cdot2+1\cdot0,\;2\cdot2+3\cdot0)=(2,4).
Procuramos escalares a,b tais que
a\,v_1+b\,v_2=(2a+b,\;2b)=(2,4).
Da segunda componente 2b=4 segue b=2. Da primeira 2a+2=2 segue a=0.
Logo, em coordenadas de B,
[T(v_1)]_B=\begin{pmatrix}0\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos T(v_2) e expressamos em B.
T(v_2)=T(1,2)=[T]_A\,(1,2)=(1\cdot1+1\cdot2,\;2\cdot1+3\cdot2)=(3,8).
Queremos c,d tais que
c\,v_1+d\,v_2=(2c+d,\;2d)=(3,8).
Da segunda componente 2d=8 vem d=4. Da primeira 2c+4=3 segue c=-\tfrac12.
Assim,
[T(v_2)]_B=\begin{pmatrix}-\tfrac12\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 5

As colunas de [T]_B são exatamente [T(v_1)]_B e [T(v_2)]_B. Assim
[T]_{B}=\begin{pmatrix} 0 & -\tfrac12\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{B}=\begin{pmatrix} 0 & -\tfrac12\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix}.

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