Determine os números reais a e para que a matriz seja simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir os números reais a e b para que a matriz A seja simétrica. Lembra que uma matriz simétrica é igual à sua transposta, ou seja, A = A^T . Para isso, vamos precisar comparar os elementos que estão na posição (i, j) com os da posição (j, i) na matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz A e sua transposta A^T :
A = 1 & 2 & a - b a + b & 2 & 0 1 & 0 & 4
A^T = 1 & a + b & 1 2 & 2 & 0 a - b & 0 & 4
Passo 3
Agora, para que A seja simétrica, cada elemento Aij deve ser igual a Aji . Vamos comparar os elementos correspondentes:
Primeira linha e primeira coluna:
A1,2 = 2 deve ser igual a A2,1 = a + b .
Portanto, temos a equação:
a + b = 2
Primeira linha e terceira coluna:
A1,3 = a - b deve ser igual a A3,1 = 1 .
Isso nos dá outra equação:
a - b = 1
Segunda linha e terceira coluna:
A2,3 = 0 já é igual a A3,2 = 0 , então não precisamos de mais equações aqui.
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = 2 a - b = 1
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira fácil é somar as duas equações para eliminar b :
(a + b) + (a - b) = 2 + 1 2a = 3 a = 32 = 1,5
Com o valor de a encontrado, podemos substituir na primeira equação para achar b :