Determine os números reais a e b para que a matriz A=[ccc1 & 2 & a-b a+b & 2 & 0 1 & 0 & 4] seja simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir os números reais a e b para que a matriz A seja simétrica. Lembra que uma matriz simétrica é igual à sua transposta, ou seja, A = A^T . Para isso, vamos precisar comparar os elementos que estão na posição (i, j) com os da posição (j, i) na matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A e sua transposta A^T :
A = 1 & 2 & a - b a + b & 2 & 0 1 & 0 & 4
A^T = 1 & a + b & 1 2 & 2 & 0 a - b & 0 & 4

Passo 3

Agora, para que A seja simétrica, cada elemento Aij deve ser igual a Aji . Vamos comparar os elementos correspondentes:
  1. Primeira linha e primeira coluna:
    • A1,2 = 2 deve ser igual a A2,1 = a + b .
    Portanto, temos a equação:
a + b = 2
  1. Primeira linha e terceira coluna:
    • A1,3 = a - b deve ser igual a A3,1 = 1 .
    Isso nos dá outra equação:
a - b = 1
  1. Segunda linha e terceira coluna:
    • A2,3 = 0 já é igual a A3,2 = 0 , então não precisamos de mais equações aqui.

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = 2 a - b = 1
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira fácil é somar as duas equações para eliminar b :
(a + b) + (a - b) = 2 + 1 2a = 3 a = 32 = 1,5
Com o valor de a encontrado, podemos substituir na primeira equação para achar b :
1,5 + b = 2 b = 2 - 1,5 b = 0,5

Resposta

Os valores são a = 32 e b = 12 .

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