Encontre o valor de c para o qual A possui inversa e encontre A^-1 para tal valor de c.
A=[ccc1 & -c & c 1 & 1 & -1 c & -c & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor de c para o qual a matriz A tem inversa e, para esse valor de c , encontrar A^-1 . A matriz A é dada por:
A = 1 & -c & c 1 & 1 & -1 c & -c & 1
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matriz inversa e determinante. A ideia é que uma matriz só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A . O determinante é um número que nos diz se a matriz tem inversa ou não. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.
Para uma matriz 3x3, o determinante det(A) é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso à nossa matriz A :
det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot (-c)) - (-c) cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot c) + c cdot (1 cdot (-c) - 1 cdot c)
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot (-c)) = 1 cdot (1 - c) = 1 - c
  1. Segundo termo:
-(-c) cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot c) = c cdot (1 + c) = c + c^2
  1. Terceiro termo:
c cdot (1 cdot (-c) - 1 cdot c) = c cdot (-c - c) = c cdot (-2c) = -2c^2

Passo 4

Agora, somando tudo:
det(A) = (1 - c) + (c + c^2) + (-2c^2) = 1 - c + c + c^2 - 2c^2 = 1 - c^2
Então, o determinante de A é det(A) = 1 - c^2 .

Passo 5

Para a matriz A ter inversa, o determinante precisa ser diferente de zero:
1 - c^2 neq 0 implies c^2 neq 1 implies c neq pm 1
Portanto, a matriz A terá inversa para todo valor de c exceto c = 1 e c = -1 .

Passo 6

Agora que sabemos que A tem inversa quando c neq pm 1 , vamos encontrar A^-1 . Para isso, vamos usar a fórmula da matriz inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta de A . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de A .

Passo 7

Vamos encontrar a matriz dos cofatores de A . Cada elemento da matriz dos cofatores é o menor complementar multiplicado por (-1)^i+j , onde i e j são as posições do elemento.
Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator C11 :
C11 = (-1)^1+1 cdot det 1 & -1 -c & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot (-c)) = 1 - c
  1. Cofator C12 :
C12 = (-1)^1+2 cdot det 1 & -1 c & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot c) = -1 - c
  1. Cofator C13 :
C13 = (-1)^1+3 cdot det 1 & 1 c & -c = 1 cdot (1 cdot (-c) - 1 cdot c) = -2c
  1. Cofator C21 :
C21 = (-1)^2+1 cdot det -c & c -c & 1 = -1 cdot ((-c) cdot 1 - c cdot (-c)) = -(-c + c^2) = c - c^2
  1. Cofator C22 :
C22 = (-1)^2+2 cdot det 1 & c c & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - c cdot c) = 1 - c^2
  1. Cofator C23 :
C23 = (-1)^2+3 cdot det 1 & -c c & -c = -1 cdot (1 cdot (-c) - (-c) cdot c) = -(-c + c^2) = c - c^2
  1. Cofator C31 :
C31 = (-1)^3+1 cdot det -c & c 1 & -1 = 1 cdot ((-c) cdot (-1) - c cdot 1) = c - c = 0
  1. Cofator C32 :
C32 = (-1)^3+2 cdot det 1 & c 1 & -1 = -1 cdot (1 cdot (-1) - c cdot 1) = -(-1 - c) = 1 + c
  1. Cofator C33 :
C33 = (-1)^3+3 cdot det 1 & -c 1 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - (-c) cdot 1) = 1 + c

Passo 8

Agora, organizamos todos os cofatores na matriz dos cofatores:
Cof(A) = 1 - c & -1 - c & -2c c - c^2 & 1 - c^2 & c - c^2 0 & 1 + c & 1 + c
Em seguida, tiramos a transposta dessa matriz para obter a matriz adjunta adj(A) :
adj(A) = 1 - c & c - c^2 & 0 -1 - c & 1 - c^2 & 1 + c -2c & c - c^2 & 1 + c

Passo 9

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 11 - c^2 cdot 1 - c & c - c^2 & 0 -1 - c & 1 - c^2 & 1 + c -2c & c - c^2 & 1 + c
Simplificando cada elemento:
A^-1 = 1 - c1 - c^2 & c - c^21 - c^2 & 0 -1 - c1 - c^2 & 1 - c^21 - c^2 & 1 + c1 - c^2 -2c1 - c^2 & c - c^21 - c^2 & 1 + c1 - c^2
Simplificando ainda mais, observamos que 1 - c^2 = (1 - c)(1 + c) , então:
A^-1 = 11 + c & c1 + c & 0 -11 + c & 1 & 11 - c -2c1 - c^2 & c1 + c & 11 - c

Resposta

Para c neq 1 e c neq -1 , a matriz A possui inversa, e a inversa A^-1 é dada por:
A^-1 = 11 - c^2 cdot 1 - c & c - c^2 & 0 -1 - c & 1 - c^2 & 1 + c -2c & c - c^2 & 1 + c

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