Mostre que det[ccc1 & 1 & 1 x & y & z x^2 & y^2 & z^2]=(y-x)(z-x)(z-y).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz 3x3:
1 & 1 & 1 x & y & z x^2 & y^2 & z^2
E queremos mostrar que o determinante dessa matriz é igual a (y - x)(z - x)(z - y). Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de determinante de matrizes e propriedades de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Se temos uma matriz:
a & b & c d & e & f g & h & i
O determinante é calculado como:
a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
1 & 1 & 1 x & y & z x^2 & y^2 & z^2

Passo 3

Vamos identificar os elementos correspondentes:
  • a = 1, b = 1, c = 1
  • d = x, e = y, f = z
  • g = x^2, h = y^2, i = z^2
Agora, aplicamos a fórmula do determinante:
1 cdot (y cdot z^2 - z cdot y^2) - 1 cdot (x cdot z^2 - z cdot x^2) + 1 cdot (x cdot y^2 - y cdot x^2)

Passo 4

Vamos simplificar cada termo separadamente:
  1. 1 cdot (y z^2 - z y^2) = y z^2 - z y^2
  2. -1 cdot (x z^2 - z x^2) = -x z^2 + z x^2
  3. 1 cdot (x y^2 - y x^2) = x y^2 - y x^2
Agora, somamos todos os termos:
(y z^2 - z y^2) - x z^2 + z x^2 + x y^2 - y x^2

Passo 5

Vamos reorganizar os termos para facilitar a fatoração:
y z^2 - z y^2 - x z^2 + z x^2 + x y^2 - y x^2
Agrupando termos semelhantes:
(z^2(y - x)) + (z(x^2 - y^2)) + (x y^2 - y x^2)

Passo 6

Observamos que x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) e x y^2 - y x^2 = x y(y - x). Então, substituímos:
z^2(y - x) + z(x - y)(x + y) + x y(y - x)
Fatorando (y - x):
(y - x)(z^2 - z(x + y) + x y)

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro do parênteses:
z^2 - z x - z y + x y
Reconhecemos que isso é igual a (z - x)(z - y):
(z - x)(z - y)

Passo 8

Portanto, temos:
det[ccc1 & 1 & 1 x & y & z x^2 & y^2 & z^2] = (y - x)(z - x)(z - y)

Resposta

det[ccc1 & 1 & 1 x & y & z x^2 & y^2 & z^2] = (y - x)(z - x)(z - y)

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