Sejam S=t^2-1, t-2, t+3 e T=2 t^2+t, t^2+3, t bases ordenadas para P2. Sejam v=8 t^2-4 t+6 e w =7 t^2-t+9.
Siga as orientações de a) a f) do Exercício 15.
Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à base T.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço P2 com a base ordenada
T = ,2t^2 + t,; t^2 + 3,; t
e pede as coordenadas dos polinômios
v = 8t^2 - 4t + 6
e
w = 7t^2 - t + 9
em relação à base T.
O conteúdo aqui é mudança de base em P2: para cada polinômio p(t) vamos escrever
p(t) = x1,(2t^2 + t) ;+; x2,(t^2 + 3) ;+; x3,t
e resolver o sistema linear para x1,x2,x3.

Passo 2

Seja um polinômio genérico
p(t)=x1,(2t^2 + t) + x2,(t^2 + 3) + x3,t.
Agrupando termos em t^2, t e constante, temos
p(t) = (2x1 + x2),t^2 ;+;(x1 + x3),t ;+; 3x2
Para encontrar as coordenadas de um polinômio dado, igualamos seus coeficientes aos do polinômio alvo e resolvemos:
2x1 + x2 = (coeficiente de t^2), x1 + x3 = (coeficiente de t), 3x2 = (termo constante)

Passo 3

Para
Da terceira equação vem .
Da segunda, .
Logo as coordenadas de em são

Passo 4

Para
Da terceira equação vem .
Da segunda, .
Logo as coordenadas de em são

Resposta

[v]T = (3,,2,,-7)
[w]T = (2,,3,,-3)

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