Determine , z para que a matriz seja antissimétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 3x3 e precisa encontrar os valores de a, b, c, x, y e z para que essa matriz seja antissimétrica. Antissimétrica significa que a matriz é igual ao negativo da sua transposta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é matriz antissimétrica e como comparar os elementos correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz antissimétrica. Uma matriz A é antissimétrica se, para todo i e j , Aij = -Aji e todos os elementos da diagonal principal são zero. Ou seja, os elementos fora da diagonal são simétricos em relação à diagonal, mas com sinais opostos, e os elementos na diagonal são zero.
Passo 3
Agora, vamos escrever a matriz dada e sua transposta:
Matriz M :
M = 2x & a + b & a - 2b -6 & y^2 & 2c 5 & 8 & z - 1
Transposta de M ( M^T ):
M^T = 2x & -6 & 5 a + b & y^2 & 8 a - 2b & 2c & z - 1
Passo 4
Para M ser antissimétrica, temos que M = -M^T . Vamos igualar cada elemento de M a -M^T e resolver as equações resultantes.
Passo 5
Começando pela diagonal principal, onde os elementos devem ser zero:
M11 = 2x = 0 ⇒ x = 0
M22 = y^2 = 0 ⇒ y^2 = 0 ⇒ y = 0 (já que y^2 é não negativo)
M33 = z - 1 = 0 ⇒ z = 1
Passo 6
Agora, vamos comparar os elementos fora da diagonal:
M12 = a + b = -M21 = -(-6) = 6 ⇒ a + b = 6
M13 = a - 2b = -M31 = -5 ⇒ a - 2b = -5
M23 = 2c = -M32 = -8 ⇒ 2c = -8
Passo 7
Vamos resolver essas equações:
De [2c = -8), temos .
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
((a + b) - (a - 2b) = 6 - (-5)]
Simplificando:
⇒
Substituindo na primeira equação:
⇒
Resposta
Os valores que tornam a matriz antissimétrica são: