Determine tildea(z), onde:
an=n^2

Passo 1

O enunciado nos pede a série geradora ordinária
tildea(z)=sumn=0^inftyanz^n
para a sequência definida por an=n^2. O conteúdo aqui é cálculo de séries geradoras e vamos usar propriedades de derivação de séries de potências.

Passo 2

Lembramos as séries básicas para lvert zrvert<1:
sumn=0^inftyz^n=11-z,
diferenciando em relação a z obtemos
sumn=1^inftyn,z^n-1=1(1-z)^2 Longrightarrow sumn=1^inftyn,z^n=z(1-z)^2

Passo 3

Para chegar em sum n^2z^n, diferenciamos novamente:
ddzgl(sumn=1^inftyn,z^ngr) =sumn=1^inftyn^2,z^n-1 Longrightarrow sumn=1^inftyn^2,z^n =zddzl(z(1-z)^2r)
Calculando a derivada:
ddzl(z(1-z)^2r) =(1-z)^2-zcdot2(1-z)(-1)(1-z)^4 =1+z(1-z)^3,
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sumn=1^inftyn^2z^n =z,(1+z)(1-z)^3

Passo 4

Note que o termo n=0 de n^2z^n é zero, então a série completa é
tildea(z)=sumn=0^inftyn^2z^n =z(1+z)(1-z)^3,
válida para lvert zrvert<1.

Resposta

tildea(z)=z,(1+z)(1-z)^3

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