Nos exercícios a seguir use a substituição para converter as integrais em integrais de funções racionais.
Em seguida, use frações parciais para avaliar as integrais.
integral d xraizx+raiz[4]x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar
integral dxraizx + raiz[4]x
usando substituição para transformar em uma integral de função racional e, em seguida, aplicar frações parciais.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raiz[4]x, x = t^4, dx = 4,t^3,dt
Nesse caso temos raizx=t^2 e raiz[4]x=t, então a integral vira
integral dxraizx + raiz[4]x = integral 4,t^3,dtt^2 + t

Passo 3

Dentro da integral, fatoramos t no denominador:
4,t^3t^2+t = 4,t^3t(t+1) = 4,t^2t+1
Logo estamos com
integral 4,t^2t+1,dt

Passo 4

Para decompor 4,t^2t+1 fazemos divisão de polinômios:
t^2t+1 = t - 1 + 1t+1,
portanto
4,t^2t+1 = 4t - 4 + 4t+1

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral l(4t - 4 + 4t+1r),dt = 4integral t,dt ;-;4integral dt ;+;4integral dtt+1
= 4cdott^22 ;-;4t ;+;4lnlvert t+1rvert + C = 2t^2 - 4t + 4lnlvert t+1rvert + C

Passo 6

Voltando à variável x, como t=raiz[4]x e t^2=raizx, obtemos
2,raizx -4,raiz[4]x +4lnl(raiz[4]x+1r) + C

Resposta

integral dxraizx + raiz[4]x = 2,raizx -4,raiz[4]x +4lnl(raiz[4]x+1r) + C

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