Determine as soluções das equações diferenciais lineares de 1a ordem abaixo:
d yd x-2 x y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 1ª ordem
dydx - 2x,y = x
O conteúdo envolvido é o método do fator integrante, que nos permite transformar a equação numa forma cuja solução é imediata.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma padrão
dydx + p(x),y = q(x),
onde aqui p(x) = -2x e q(x)=x.
O fator integrante é dado por
mu(x) = expgl(integral p(x),dxgr) = expl(integral -2x,dxr) = exp(-x^2)

Passo 3

Multiplicamos toda a EDO por mu(x):
exp(-x^2)dydx - 2x,exp(-x^2),y = x,exp(-x^2)
O lado esquerdo é a derivada do produto y,exp(-x^2), ou seja,
ddxl(y,exp(-x^2)r) = x,exp(-x^2)
Agora basta integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 4

Calcular
integral x,exp(-x^2),dx
fazendo u = -x^2, du = -2x,dx, o que implica x,dx = -tfrac12,du. Então
integral x,exp(-x^2),dx = -tfrac12integral e^u,du = -tfrac12 e^u + C = -tfrac12 e^-x^2 + C

Passo 5

Voltando à equação integrada:
y,exp(-x^2) = -tfrac12 e^-x^2 + C
Multiplicando por e^x^2 obtemos a solução geral:
y(x) = -tfrac12 + C,e^x^2

Resposta

y(x) = C,e^x^2 - tfrac12

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