Determine as soluções das equações diferenciais lineares de 1a ordem abaixo:
d yd x-2 x=x^2 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
dydx-2x,y = x^2e^2x
O conteúdo aqui é o método do fator integrante. Vamos:
  1. Colocar na forma padrão dfracdydx+P(x),y=Q(x).
  2. Calcular o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx.
  3. Transformar o lado esquerdo num produto derivado ddx[mu(x),y].
  4. Integrar ambos os lados e, por fim, isolar y.

Passo 2

Identificamos em
dydx-2x,y = x^2e^2x
que
P(x) = -2x, Q(x)=x^2e^2x
O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx =e^integral(-2x),dx =e^-x^2

Passo 3

Multiplicando toda a equação por mu(x)=e^-x^2, obtemos
e^-x^2dydx-2x,e^-x^2y = x^2e^2x-x^2
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto mu(x),y:
ddxl(e^-x^2yr) = e^-x^2dydx-2x,e^-x^2y

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x,
integral ddxl(e^-x^2yr),dx = integral x^2e^2x-x^2,dx
leva a
e^-x^2y = integral x^2e^2x-x^2,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Basta agora isolar y:
y(x) = e^x^2,l(integral x^2e^2x-x^2,dx + Cr)

Resposta

boxedy(x) = e^x^2l(integral x^2e^2x-x^2,dx + Cr),
com C constante arbitrária.

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