Seja E a região sólida da esfera de raio 2 centrada na origem e acima do plano x y.
Expresse a região sólida E em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a pergunta tá pedindo é para a gente pegar uma região sólida, que é a parte de uma esfera de raio 2, centrada na origem, e que fica acima do plano xy . A tarefa é reescrever essa região usando duas formas diferentes de coordenadas: cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos precisar entender como essas coordenadas funcionam e como representam pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, um ponto no espaço é representado por três coordenadas: r (a distância do ponto até o eixo z ), theta (o ângulo em torno do eixo z ), e z (a altura no eixo z ).
Nossa região E é a parte de uma esfera com raio 2 acima do plano xy . Na equação da esfera em coordenadas cartesianas é x^2 + y^2 + z^2 = 4 . Em coordenadas cilíndricas, isso vira r^2 + z^2 = 4 .
Além disso, como queremos apenas a parte acima do plano xy , z deve ser maior ou igual a 0.
Então, em coordenadas cilíndricas, a região E é definida por:
0 <= r <= 2
0 <= theta <= 2pi
0 <= z <= raiz4 - r^2

Passo 3

Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, um ponto é representado por três coordenadas: rho (a distância do ponto até a origem), phi (o ângulo com o eixo z ), e theta (o ângulo em torno do eixo z , igual ao das coordenadas cilíndricas).
A equação da esfera em coordenadas esféricas é simples: rho = 2 , já que a esfera tem raio 2. Como queremos apenas a parte acima do plano xy , o ângulo phi vai de 0 (no eixo z ) até pi/2 (no próprio plano xy ).
Portanto, em coordenadas esféricas, a região E é definida por:
0 <= rho <= 2
0 <= theta <= 2pi
0 <= phi <= pi2

Resposta

A região sólida E acima do plano xy na esfera de raio 2 centrada na origem pode ser expressa da seguinte forma:
  • Em coordenadas cilíndricas:
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= raiz4 - r^2
  • Em coordenadas esféricas:
0 <= rho <= 2, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= phi <= pi2

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