Seja
a região sólida da esfera de raio 2 centrada na origem e acima do plano
.
Expresse a região sólida
em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.
Expresse a região sólida
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a pergunta tá pedindo é para a gente pegar uma região sólida, que é a parte de uma esfera de raio 2, centrada na origem, e que fica acima do plano
. A tarefa é reescrever essa região usando duas formas diferentes de coordenadas: cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos precisar entender como essas coordenadas funcionam e como representam pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, um ponto no espaço é representado por três coordenadas:
(a distância do ponto até o eixo
),
(o ângulo em torno do eixo
), e
(a altura no eixo
).
Nossa região
é a parte de uma esfera com raio 2 acima do plano
. Na equação da esfera em coordenadas cartesianas é
. Em coordenadas cilíndricas, isso vira
.
Além disso, como queremos apenas a parte acima do plano
,
deve ser maior ou igual a 0.
Então, em coordenadas cilíndricas, a região
é definida por:
Passo 3
Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, um ponto é representado por três coordenadas:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo com o eixo
), e
(o ângulo em torno do eixo
, igual ao das coordenadas cilíndricas).
A equação da esfera em coordenadas esféricas é simples:
, já que a esfera tem raio 2. Como queremos apenas a parte acima do plano
, o ângulo
vai de 0 (no eixo
) até
(no próprio plano
).
Portanto, em coordenadas esféricas, a região
é definida por:
Resposta
A região sólida
acima do plano
na esfera de raio 2 centrada na origem pode ser expressa da seguinte forma:
- Em coordenadas cilíndricas:
- Em coordenadas esféricas: