1. Determine o termo geral das sequências abaixo:
    (a) an+1=2 an, a0=1;
    (b) an+2=-an, a0=1 e a1=0;
    (c) an+2-4 an+1+4 an=1, a0=0, a1=-1;
    (d) (n+1) an+1= ina n, a0=i;
    (e) (n+3) an+2-2(n+1) an=0, a0=a1=1;
    (f) e^n+1 an+1-3 e^n an=0, a0=1.
    (g) e^n+1 an+1-e^n an=2^n-sin (omega n), a0=0, onde omega in C.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o termo geral de várias sequências definidas por recorrência. Vamos usar os seguintes conteúdos:
  • Recorrência de primeira ordem homogênea (sequência geométrica).
  • Equação característica para recorrência linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes.
  • Particular constante para termo não-homogêneo constante.
  • Separação em índices pares e ímpares para recorrência com coeficientes variáveis que ``pula'' dois termos.
  • Método de redução a recorrência de primeira ordem não homogênea para o caso com coeficientes que dependem do índice e soma telescópica ou soma explícita.

Passo 2

(a) Temos
an+1=2,an, a0=1
Esta é uma sequência geométrica de razão 2. Logo
an=2^n,a0=2^ncdot1=2^n

Passo 3

(b) A recorrência é
an+2=-,an, a0=1,;a1=0
A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Assim
an=A,i^n+B,(-i)^n
De n=0 vem A+B=1 e de n=1 vem A,i+B(-i)=0Rightarrow A=B. Logo A=B=tfrac12 e
an=i^n+(-i)^n2=cos!l(tfracpi n2r)

Passo 4

(c) A recorrência é
an+2-4,an+1+4,an=1, a0=0,;a1=-1
A parte homogênea tem r^2-4r+4=(r-2)^2, dupla raiz r=2, então
an^h=(C1+C2n),2^n
Como o termo não-homogêneo é constante, tentamos an^p=A. Substituindo dá A=1. Logo
an=(C1+C2n),2^n+1
Impondo a0=0 e a1=-1 obtemos C1=-1 e C2=0. Assim
an=1-2^n

Passo 5

(d) A recorrência é
(n+1),an+1=i,n,an, a0=i
Isto equivale a
an+1=i,nn+1,an
Para n=0 vem a1=0. E para n>=1 cada termo seguinte contém fator n e herda um zero. Logo
a0=i, an=0(forall n>=1)

Passo 6

(e) A recorrência “pula” dois índices:
(n+3),an+2-2,(n+1),an=0, a0=1,;a1=1,
ou
an+2=2(n+1)n+3;an
Separamos pares e ímpares. Para n=2k obtemos
a2k+2=2(2k+1)2k+3,a2k,
cuja solução é
a2k=prodj=0^k-14j+22j+3 =2^k2k+1
Para n=2k+1 fica
a2k+3=2,a2k+1,
ou seja a2k+1=2^ka1=2^k.

Passo 7

(f) A recorrência é de primeira ordem:
e^n+1,an+1-3,e^n,an=0,
i.e.
an+1=3e,an, a0=1
É geométrica de razão 3/e, logo
an=l(tfrac3er)^n

Passo 8

(g) Temos recorrência de primeira ordem não homogênea:
e^n+1an+1-e^nan=2^n-sin(omega n), a0=0
Divide-se por e^n+1 para obter
an+1-e^-1an=2^n-sin(omega n)e^n+1
Usa-se então a fórmula de soma telescópica para a solução geral de
;an+1-c,an=gn:
an=sumk=0^n-1c^,n-1-k,gk, c=e^-1,;gk=2^k-sin(omega k)e^k+1
Substituindo e simplificando os fatores e resulta
boxed an =sumk=0^n-1e^-(n-k-1);2^k-sin(omega k)e^,k+1 =;e^-nsumk=0^n-1l(2^k-sin(omega k)r)

Resposta

(a) an=2^n
(b) an=dfraci^n+(-i)^n2=cos!l(tfracpi n2r)
(c) an=1-2^n
(d) a0=i,;an=0 para todo n>=1
(e) a2k=2^k2k+1, a2k+1=2^k
(f) an=l(tfrac3er)^n
(g) an =e^-nsumk=0^n-1l(2^k-sin(omega k)r)

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