- Determine o termo geral das sequências abaixo:
(a)
;
(b)
e
;
(c)
;
(d)
ina
;
(e)
;
(f)
.
(g)
, onde
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o termo geral de várias sequências definidas por recorrência. Vamos usar os seguintes conteúdos:
- Recorrência de primeira ordem homogênea (sequência geométrica).
- Equação característica para recorrência linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes.
- Particular constante para termo não-homogêneo constante.
- Separação em índices pares e ímpares para recorrência com coeficientes variáveis que ``pula'' dois termos.
- Método de redução a recorrência de primeira ordem não homogênea para o caso com coeficientes que dependem do índice e soma telescópica ou soma explícita.
Passo 2
(a) Temos
Esta é uma sequência geométrica de razão
. Logo
Passo 3
(b) A recorrência é
A equação característica é
, com raízes
. Assim
De
vem
e de
vem
. Logo
e
Passo 4
(c) A recorrência é
A parte homogênea tem
, dupla raiz
, então
Como o termo não-homogêneo é constante, tentamos
. Substituindo dá
. Logo
Impondo
e
obtemos
e
. Assim
Passo 5
(d) A recorrência é
Isto equivale a
Para
vem
. E para
cada termo seguinte contém fator
e herda um zero. Logo
Passo 6
(e) A recorrência “pula” dois índices:
ou
Separamos pares e ímpares. Para
obtemos
cuja solução é
Para
fica
ou seja
.
Passo 7
(f) A recorrência é de primeira ordem:
i.e.
É geométrica de razão
, logo
Passo 8
(g) Temos recorrência de primeira ordem não homogênea:
Divide-se por
para obter
Usa-se então a fórmula de soma telescópica para a solução geral de
:
Substituindo e simplificando os fatores
resulta
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) para todo
(e)
(f)
(g)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)